高等數(shù)學(xué)與函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 高等數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)精選

高等數(shù)學(xué)與函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)高等數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)篇二

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

3、換元法

換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達(dá)定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c屬于r，a≠0)根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。

5、待定系數(shù)法

在解數(shù)學(xué)問題時，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。

6、構(gòu)造法

在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識互相滲透，有利于問題的解決。

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（1）函數(shù)的定義和性質(zhì)（定義域值域、單調(diào)性、奇偶性和周期性等）

（2）冪函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)，多項式函數(shù)和有理函數(shù)）

（3）指數(shù)和對數(shù)（指數(shù)和對數(shù)的公式運(yùn)算以及函數(shù)性質(zhì)）

（4）三角函數(shù)和反三角函數(shù)（運(yùn)算公式和函數(shù)性質(zhì)）

（5）復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)

（6）參數(shù)函數(shù)，極坐標(biāo)函數(shù)，分段函數(shù)

（7）函數(shù)圖像平移和變換

（1）極限的定義和左右極限

（2）極限的運(yùn)算法則和有理函數(shù)求極限

（3）兩個重要的極限

（4）極限的應(yīng)用-求漸近線

（5）連續(xù)的定義

（6）三類不連續(xù)點(diǎn)（移點(diǎn)、跳點(diǎn)和無窮點(diǎn)）

（7）最值定理、介值定理和零值定理

（1）導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義和單側(cè)導(dǎo)數(shù)

（2）極限、連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系

（3）導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則（共21個）

（4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

（5）高階導(dǎo)數(shù)

（6）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)

（7）反函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

（8）參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)和極坐標(biāo)求導(dǎo)數(shù)

（1）微分中值定理（d-mvt）

（2）幾何應(yīng)用-切線和法線和相對變化率

（3）物理應(yīng)用-求速度和加速度（一維和二維運(yùn)動）

（4）求極值、最值，函數(shù)的增減性和凹凸性

（5）洛比達(dá)法則求極限

（6）微分和線性估計，四種估計求近似值

（7）歐拉法則求近似值

（1）不定積分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

（2）不定積分的公式（18個）

（3）u換元法求不定積分

（4）分部積分法求不定積分

（5）待定系數(shù)法求不定積分

（2）牛頓-萊布尼茨公式和定積分的性質(zhì)

（3）accumulation function求導(dǎo)數(shù)

（4）反常函數(shù)求積分

（1）積分中值定理（i-mvt）

（2）定積分求面積、極坐標(biāo)求面積

（3）定積分求體積，橫截面體積

（4）求弧長

（5）定積分的物理應(yīng)用

（1）可分離變量的微分方程和邏輯斯特微分方程

（2）斜率場

（1）無窮級數(shù)的定義和數(shù)列的級數(shù)

（2）三個審斂法-比值、積分、比較審斂法

（3）四種級數(shù)-調(diào)和級數(shù)、幾何級數(shù)、p級數(shù)和交錯級數(shù)

（4）函數(shù)的級數(shù)-冪級數(shù)（收斂半徑）、泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)

（5）級數(shù)的運(yùn)算和拉格朗日余項、拉格朗日誤差

注意：

（1）問答題主要考察知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，一般每道問答題都有3-4問，可能同時涵蓋導(dǎo)數(shù)、積分或者微分方程的內(nèi)容，解出的答案一般都是保留3位小數(shù)。

（2）微積分bc課程比ab課程考察內(nèi)容更多，題目更難，ab的內(nèi)容和難度大概相當(dāng)于bc的1/2 。

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到(當(dāng)b0時，向上平移;當(dāng)b0時，向下平移)

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)及性質(zhì)

7、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：

(1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;

(3)解方程得出未知系數(shù)的值;

(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式。

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一、背景分析

1. 對教材的分析

本節(jié)課講述內(nèi)容為北師大版教材九年級下冊第五章《反比例函數(shù)》的第二節(jié)，也這一章的重點(diǎn)。本節(jié)課是在理解反比例函數(shù)的意義和概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步熟悉其圖象和性質(zhì)的過程。

本節(jié)課前一課時是在具體情境中領(lǐng)會反比例函數(shù)的意義和概念 。函數(shù)的性質(zhì)蘊(yùn)涵于概念之中，對反比例函數(shù)性質(zhì)的探索是對其內(nèi)在規(guī)定性的的認(rèn)識，也是對函數(shù)的概念的深化。同時，本節(jié)課也是下一節(jié)課《反比例函數(shù)的應(yīng)用》的基礎(chǔ)，有了本節(jié)課的知識儲備，便于學(xué)生利用函數(shù)的觀點(diǎn)來處理問題和解釋問題。

傳統(tǒng)教材在內(nèi)容和編寫意圖的比較：傳統(tǒng)教材里反比例函數(shù)的內(nèi)容僅有一節(jié)，新教材里反比例函數(shù)的內(nèi)容增加至一章。本節(jié)課中的作函數(shù)圖象的要求在新舊教材中并不一樣，舊教材對畫圖只是一帶而過，而新教材中讓學(xué)生反復(fù)作反比例函數(shù)的圖象，為下一步性質(zhì)的探索打下良好的基礎(chǔ)。因為在學(xué)生進(jìn)行函數(shù)的列表、描點(diǎn)作圖是活動中，就已經(jīng)開始了對反比例函數(shù)性質(zhì)的探索，而且通過對函數(shù)的三種表示方式的整和，逐步形成對函數(shù)概念的整體性認(rèn)識。在舊教材中對反比例函數(shù)性質(zhì)只是簡單觀察以后，由老師講解得到，但是在新教材中注重從操作、觀察、概括和交流這些數(shù)學(xué)活動中得到性質(zhì)結(jié)論，從而逐步提高從函數(shù)圖象中獲取信息的能力。這也充分體現(xiàn)了重視獲取知識過程體驗的新課標(biāo)的精神。

(1) 教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步熟悉作函數(shù)圖象的主要步驟，會作反比例函數(shù)的圖象;體會函數(shù)三種方式的相互轉(zhuǎn)換，對函數(shù)進(jìn)行認(rèn)識上的整和;逐步提高從函數(shù)圖象中獲取知識的能力，探索并掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì)。

(2) 重點(diǎn)：會作反比例函數(shù)的圖象;探索并掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì)。

(3) 難點(diǎn)：探索并掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì)。

2、對學(xué)情的分析

九年級學(xué)生在前面學(xué)習(xí)了一次函數(shù)之后，對函數(shù)有了一定的認(rèn)識，雖然他們在小學(xué)已經(jīng)接觸了反比例，但都處于淺顯的、膚淺的知識表面，這對于他們理解反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)沒有多大的幫助，但由于本節(jié)課采用z+z智能教育平臺進(jìn)行教學(xué)，比較形象，便于學(xué)生接受。

教學(xué)過程

一、憶一憶

生：作一次函數(shù)的圖象要采用以下幾個步驟：(1)列表(2)描點(diǎn)(3)連線。

生乙：一次函數(shù)的圖象是一條直線。

生：反比例函數(shù)。

師：你們能作出它的圖象嗎?

生：可以。

點(diǎn)評：復(fù)習(xí)舊知識，讓學(xué)生感受到新舊知識的聯(lián)系，并為后面的作反比例函數(shù)的圖象做好準(zhǔn)備。

二、作圖象，試比較

師：請?zhí)顚戨娔X上的表格，并開始在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)，連線。

師：再按照上述方法作y=-4/x的圖象。

(學(xué)生動手操作)

師：下面大家分小組討論：對照你們所作出的兩個函數(shù)圖象，找出它們的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

(學(xué)生討論交流，教師參與)

師：討論結(jié)束，下面哪個小組的同學(xué)說說你們的看法?

生1：它們的圖象都是由兩支曲線組成的。

生2：y=4/x 的圖象的兩條曲線分布在一、三象限內(nèi)，而y=-4/x 的圖象的兩支曲線分布在二、四象限內(nèi)。

點(diǎn)評：這里讓學(xué)生自己上臺操作，既培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力，又可以激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣。

三、細(xì)觀察，找規(guī)律

師：大家都說得很好，下面我們一起觀察反比例函數(shù) y=k/x的圖象，當(dāng)k的發(fā)值生變化時，函數(shù)的圖象發(fā)生了怎樣的變化，并分小組討論有什么規(guī)律。

(展示圖象，讓學(xué)生觀察y=k/x 的圖象，按下動畫按鈕，在運(yùn)動中觀察 值的變化與函數(shù)的圖象變化之間的關(guān)系，并與同學(xué)們充分討論)

師：請同學(xué)們談一談剛才討論的結(jié)果。

生：我發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的變化與k 的值有關(guān)：當(dāng) k0 時，在每一象限內(nèi)，y隨 x的增大而減小，當(dāng) k0 時，在每一象限內(nèi) ，y隨x 的增大而增大。

師：看來大家都經(jīng)過了認(rèn)真的思考和討論，對規(guī)律總結(jié)的也比較完整，下面我們一起把剛才兩個環(huán)節(jié)的知識點(diǎn)一起總結(jié)一下。

(1)反比例函數(shù)y=k/x的圖象是由兩支曲線所組成的。

(2)當(dāng) k0時，兩支曲線分別在一、三象限;當(dāng)k0時，兩支曲線分別在二、四象限。

(3)當(dāng)k0 時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，當(dāng)k0時，在每一象限內(nèi) ，y隨x 的增大而增大。

(由學(xué)生在電腦上進(jìn)行操作)

生：我發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的圖象與原圖象完全重合了，這說明反比例函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形。

師：大家做得很好。那么，如果我們在圖象上任取a、b兩點(diǎn)，經(jīng)過這兩點(diǎn)分別作 軸、軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積分別 為s1、s2，觀察兩個矩形面積的變化情況，并找出其中的變化規(guī)律。

題目：(1) 拖動k，使k變化，觀察k不斷變化過程中，矩形面積的變化情況，討論得出結(jié)論。(2) 拖動函數(shù)上的點(diǎn)，觀察矩形面積的變化情況，討論得出結(jié)論。

生：我們發(fā)現(xiàn)，在同一個反比例函數(shù)中，不管k 值怎么變化，矩形的面積始終不變。

師：大家的觀察很仔細(xì)，總結(jié)得也很正確。

點(diǎn)評：在這個環(huán)節(jié)中，既讓學(xué)生動手操作，又讓他們分組交流，這樣既培養(yǎng)了他們的動手能力，又增強(qiáng)了他們的團(tuán)結(jié)合作的意識。結(jié)論主要有學(xué)生來發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)了新課程理論的精神。

四、用規(guī)律，練一練

1、課本137頁隨堂練習(xí)1

生：第一幅圖是 y=-2/x的圖象，因為在這里的 k0，雙曲線應(yīng)在第二、四象限。

(1) y=1/(2x)(2)y=0.3/x(3)y=10/x(4)y=-7/(100x)

生：其中(1)(2)(3)的圖象在一、三象限;(4)的圖象在每一象限內(nèi)，y 隨x 的增大而增大。

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設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù). 若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)n，使nn(或n≥n)時，有|an -a|ε(或|an-a|≤ε)，則稱數(shù)列{an}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，記作：lim(n-∞)an=a. 對應(yīng)的還有數(shù)列發(fā)散的定義。

函數(shù)極限則有趨于無窮的定義：設(shè)f為定義在[a,+∞)上的函數(shù)，a為定數(shù).若對任給的ε0，存在正數(shù)m(≥a)，使得當(dāng)xm時，有|f(x)-a|ε，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時以a為極限，記作：lim(x-+∞)f(x)=a. 對應(yīng)的有趨于負(fù)無窮和趨于無窮的定義。

其它類型的極限性質(zhì)類似，可自己模仿寫出來。

數(shù)列極限和函數(shù)極限還有相同的四則運(yùn)算法則，即：函數(shù)(或數(shù)列)和差積商的極限等于極限的和差積商，其中作為除數(shù)的函數(shù)(或數(shù)列)或極限不等于0。

3、接下來是極限存在的條件，即收斂的條件：

(1)單調(diào)有界定理：以數(shù)列極限為例，在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列收斂，且其極限是它的上(下)確界. 函數(shù)極限的單調(diào)有界定理只針對單側(cè)極限。

(3)函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的橋梁，是歸結(jié)原則：

函數(shù)極限的單側(cè)極限，即左極限和右極限，都有對應(yīng)的歸結(jié)原則。

關(guān)于極限存在的條件還有很多，但未必都是充要條件，只能靠平時學(xué)習(xí)中多加積累。

4、常用的極限。

第二個重要極限是：lim(x-∞)(1+1/x)^x=e，它還有數(shù)列極限的形式：lim(n-∞)(1+1/n)^n=e. 它涉及到一類未定式極限1^∞，只要是這種類型的極限，都與e有關(guān)。

與無窮小對應(yīng)的是無窮大量，不過無窮大量的倒數(shù)就是無窮小量，所以我們可以把它們統(tǒng)一起來，求無窮大量有關(guān)的極限時，都可以先把無窮大量化為無窮小量來解。

5、最后一個問題是極限的應(yīng)用。極限的應(yīng)用非常廣泛，我們在極限這一章中，主要是用它來求函數(shù)圖像的漸近線。這方面的詳細(xì)內(nèi)容請自行補(bǔ)充。