最新積分不等式的證明方法論文 不定積分公式的證明(五篇)

每個(gè)人都曾試圖在平淡的學(xué)習(xí)、工作和生活中寫(xiě)一篇文章。寫(xiě)作是培養(yǎng)人的觀察、聯(lián)想、想象、思維和記憶的重要手段。相信許多人會(huì)覺(jué)得范文很難寫(xiě)？以下是小編為大家收集的優(yōu)秀范文，歡迎大家分享閱讀。

積分不等式的證明方法論文 不定積分公式的證明篇一

摘要

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,積分不等式的證明一直是一個(gè)無(wú)論在難度還是技巧性方面都很復(fù)雜的內(nèi)容.對(duì)積分不等式的證明方法進(jìn)行研究不但能夠系統(tǒng)的總結(jié)其證明方法,還可以更好的將初等數(shù)學(xué)的知識(shí)和高等數(shù)學(xué)的結(jié)合起來(lái).并且可以拓寬我們的視野、發(fā)散我們的思維、提高我們的創(chuàng)新能力,因此可以提高我們解決問(wèn)題的效率.本文主要通過(guò)查閱有關(guān)的文獻(xiàn)和資料的方法,對(duì)其中的內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比和分析,并加以推廣和補(bǔ)充,提出自己的觀點(diǎn).本文首先介紹了兩個(gè)重要的積分不等式并給出了證明,然后分類討論了證明積分不等式的八種方法,即利用函數(shù)的凹凸性、輔助函數(shù)法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用積分的性質(zhì)、利用泰勒公式、利用重積分、利用微分中值定理,最后對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)．

關(guān)鍵詞：積分不等式,定積分,中值定理,柯西-施瓦茲不等式,單調(diào)性

abstract

when we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．in this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, taylor formula,double integral and differential mean value y,the full paper is summarized．

key words: integral inequality, definite integral,mean value theorem，cauchy-schwarz inequality, monotonicty

1.引

言

不等式在數(shù)學(xué)中有著重要的作用,在數(shù)量關(guān)系上,盡管不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加普遍的存在于人們的現(xiàn)實(shí)世界里,然而人們對(duì)于不等式的認(rèn)識(shí)要比方程遲的多.直到17世紀(jì)之后,不等式的理論才逐漸的成長(zhǎng)起來(lái),成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分.眾所周知,不等式理論在數(shù)學(xué)理論中有著重要的地位,它滲透到了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中,因而它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要的內(nèi)容.其中積分不等式更是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的內(nèi)容．

實(shí)際上關(guān)于定積分的概念起源于求平面圖形的面積和一些其他的實(shí)際問(wèn)題.有關(guān)定積分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希臘時(shí)期,阿基米德就曾經(jīng)用求和的方法計(jì)算過(guò)拋物線弓形和其他圖形的面積.在歷史上,積分觀念的形成要比微分早.然而直到17世紀(jì)后半期,較為完整的定積分理論還沒(méi)有能夠形成,一直到newton-leibniz公式建立之后,有關(guān)計(jì)算的問(wèn)題得以解決后,定積分才迅速的建立并成長(zhǎng)起來(lái)．

本論文研究的積分不等式結(jié)合了定積分以及不等式.關(guān)于它的證明向來(lái)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)及難點(diǎn).對(duì)積分不等式的證明方法進(jìn)行研究，并使其系統(tǒng)化，在很大程度上為不同的數(shù)學(xué)分支之間架起了橋梁.深刻的理解及掌握積分不等式的證明方法可以提升我們對(duì)其理論知識(shí)的理解,同時(shí)可以提高我們的創(chuàng)造思維和邏輯思維．

在論文的第三部分中對(duì)積分不等式的證明方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.分別從利用函數(shù)的凹凸性、輔助函數(shù)法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用泰勒公式、利用重積分、利用微分中值定理、利用定積分的性質(zhì)這八個(gè)方面給出了例題及證明方法.這樣通過(guò)幾道常見(jiàn)的積分不等式的證明題,從不同的角度,用不同的方法研究、分析了積分不等式的特點(diǎn),歸納總結(jié)出了其證明方法.同時(shí)論文中也對(duì)有的題目給出了多種證明方法,這啟示我們對(duì)于同一道積分不等式而言它的證明方法往往不止一種,我們需要根據(jù)實(shí)際情況采用合適的方法去證明,從而達(dá)到將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)的目的．

2.幾個(gè)重要的積分不等式

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們遇到過(guò)許多重要的積分不等式,如cauchy-schwarz不等式,young不等式等.它們的形式及證明方法都有很多種,在這一小結(jié)中我們將給出這兩種積分不等式的證明方法．

2.1 cauchy-schwarz不等式

無(wú)論是在代數(shù)還是在幾何中cauchy-schwarz不等式的應(yīng)用都很廣泛,它是不同于均值不等式的另一個(gè)重要不等式．其形式有在實(shí)數(shù)域中的、微積分中的、概率空間??,f,p?中的以及n維歐氏空間中的4種形式.接下來(lái)在這一部分中我們將對(duì)其在微積分中的形式進(jìn)行研究．

定理2.1[1] 設(shè)f(x), g(x)在[a,b]上連續(xù),則有

[?f(x)g(x)dx]2?{?[f(x)]2dx}? {?[g(x)]2dx}．

aaabbb證明：要證明原不等式成立,我們只需要證

?

設(shè)f?t???t2abaf2?x?dx??at2bb?g?x?dx??f?x?g?x?dx??0成立． ???a? 222tf?x?dx??g?x?dx???f?x?g?x?dx?,則只要證f?b??f?a?成立，?a?a??由f?t?在[a,b]上連續(xù),在?a,b?內(nèi)可導(dǎo),得

f??t??f2?t??g2?x?dx?g2?t??f2?x?dx?2f?t?g?t??f?x?g?x?dxaaa2222???ftgx?2ftgtfxgx?gtf???????????????x???dx a?tttt

???f?t?g?x??g?t?f?x???dx?0．

(2.1)a?由(2.1)式可知f?t?在[a,b]上遞增,由b?a,知f?b??f?a?,故原不等式成立．

證畢

實(shí)際上關(guān)于cauchy-schwarz不等式的證明方法有很多,這里我們采用的證明方法是較為普遍的輔助函數(shù)法,它將要證明的原積分不等式通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)變?yōu)榱伺袛嗪瘮?shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值大小的問(wèn)題．通過(guò)觀察我們可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)原cauchy-schwarz不等式能夠改寫(xiě)成以下行列式的形式 t2 4 南通大學(xué)畢業(yè)論文

?f?x?f?x?dx?g?x?f?x?dx?0，aabb?baf?x?g?x?dx?g?x?g?x?dxab由此我們可以聯(lián)想到是否可以將它進(jìn)行推廣？答案是肯定的.下面我們將給出

cauchy?schwarz不等式的推廣形式．

定理2.2[2] 設(shè)f?x?,g?x?,h?x?在?a,b?上可積,則

???h?x?f?x?dx?f?x?g?x?dx?g?x?g?x?dx?h?x?g?x?dx?0． ?f?x?h?x?dx?g?x?h?x?dx?h?x?h?x?dxaaabbbaaabbbaaabf?x?f?x?dxbg?x?f?x?dxb 證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)t1,t2,t3,有

?ba?t1f?x??t2g?x??t3h?x??dx

bbbaaa2?t12?f2?x?dx?t22?g2?x?dx?t32?h2?x?dxbbaa

ba?2t1t2?f?x?g?x?dx?2t1t3?f?x?h?x?dx?2t2t3?g?x?h?x?dx?0． 注意到關(guān)于t1,t2,t3的二次型實(shí)際上為半正定二次型, 從而其系數(shù)矩陣行列式為

?babbaf2?x?dx?ba?g?x?f?xd?x?ab?h?x?b2fxdx

????x?f?x?hfax?g??xdxdx?ba?b2a?g?xdx?bax??h??ag?0x．d x證畢 xdx?g??x?hxdx???h以上的推廣是將cauchy-schwarz不等式的行列式由二階推廣到了三階的形式,事實(shí)上cauchy-schwarz不等式是一個(gè)在很多方面都很重要的不等式,例如在證明不等式,求函數(shù)最值等方面.若能靈活的運(yùn)用它則可以使一些較困難的問(wèn)題得到解決.下面我們會(huì)在第三部分給出cauchy-schwarz不等式及其推廣形式在積分不等式證明中的應(yīng)用．

除了cauchy-schwarz不等式之外還有很多重要的積分不等式,例如young不等式,相較于cauchy-schwarz不等式我們對(duì)young不等式的了解比較少,實(shí)際上它也具有不同的形式且在現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.接著我們將對(duì)young不等式進(jìn)行一些研究．

2.2 young不等式

young不等式,以及和它相關(guān)的minkowski不等式,h?lder不等式,這些都是在現(xiàn)代分

析數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛的不等式,在調(diào)和函數(shù)、數(shù)學(xué)分析、泛函分析以及偏微分方程中這三個(gè)不等式的身影隨處可見(jiàn),是使用得最為普遍,最為平凡的知識(shí)工具.下面我們將給出積分形式的young不等式的證明．

定理2.3[3] 設(shè)f(x)在[0,c]（c?0）上連續(xù)且嚴(yán)格遞增,若f(0)?0,a?[0,c]且b?[0,f(c)],則?0f(x)dx??0f?1(x)dx?ab,其中f?1是f的反函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)b?f(a)時(shí)等號(hào)成立．

證明：引輔助函數(shù)g(a)?ab??f(x)dx，(2.2)

0aab把b?0看作參變量,由于g?(a)?b?f(a),且f嚴(yán)格遞增,于是

當(dāng) 0?a?f?1(b)時(shí),g?(a)?0；當(dāng) a?f?1(b)時(shí),g?(a)?0；當(dāng) a?f?1(b)時(shí),g?(a)?0． 因此 當(dāng)a?f?1(b)時(shí),g(a)取到g的最大值,即

g?a??maxg?x??gf?1?b?

(2.3)

由分部積分得

f?1(b)f?1(b)?0?g(f(b))?bf(b)??作代換y?f(x),上面積分變?yōu)?/p>

?1?1f(x)dx??0xdf(x)，g(f?1(b))??f?1(y)dy，(2.4)

0b將(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得

ab??f(x)dx??f(y)dy??f?1(x)dx，000ab?1b即?f(x)dx??f?1(x)dx?ab． 證畢

00ab 6 南通大學(xué)畢業(yè)論文

3.定積分不等式常見(jiàn)的證明方法

關(guān)于積分不等式的證明方法較為繁多,難度及技巧性也較大,因此對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的歸納總結(jié)是很有必要的．在這一部分中我們將歸納出利用輔助函數(shù)、微分中值定理、重要積分不等式及積分中值定理等證明積分不等式的方法．

3.1 利用函數(shù)的凹凸性

在數(shù)學(xué)分析以及高等數(shù)學(xué)中,我們常常會(huì)遇到一類特殊的函數(shù)—凸函數(shù)．凸函數(shù)具有重要的理論研究?jī)r(jià)值和廣泛的實(shí)際應(yīng)用,在有些不等式的證明中,若能靈活地利用凸函數(shù)的性質(zhì)往往能夠簡(jiǎn)潔巧妙的解決問(wèn)題．下面給出一個(gè)例子加以說(shuō)明．

定理3.1 若??t?定義在間隔?m,m?內(nèi),且????t??0,則??t?必為下凸函數(shù)．

定理3.2 設(shè)f?x?在[a,b]上為可積分函數(shù),而m?f(x)?m．又設(shè)??t?在間隔m?t?m內(nèi)為連續(xù)的下凸函數(shù),則有不等式

??1b?1b?fxdx???f?x??dx． ?????aa?b?a?b?abb例3.1[4] 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù),且f?x??0,求證：?f?x?dx?aa12dx??b?a?． f?x?證明: 取??u??112, 因?yàn)???u???2?0,????u??3?0,?u?0? uuu即在u?0時(shí),y???u?為凸函數(shù),故有

1b?1b???f?x?dx????f?x??dx，??aab?ab?a??b?a即?f?x?dxab??ba1dxbbf?x?12dx??b?a?．

證畢，故?f?x?dx?aafxb?a??在上述的題目中我們可以發(fā)現(xiàn)在證明中常常先利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的凹凸性,然后再利用凹（凸）函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式．然而對(duì)于實(shí)際給出的題目,我們往往需要先構(gòu)造一個(gè)凹（凸）函數(shù),然后才能利用其性質(zhì)來(lái)證明我們所要證明的問(wèn)題．

3.2 輔助函數(shù)法

輔助函數(shù)法是積分不等式證明中的一種非常重要的方法,往往我們會(huì)根據(jù)不等式的特點(diǎn),構(gòu)造與問(wèn)題相關(guān)的輔助函數(shù),考慮在相同的區(qū)間上函數(shù)所滿足的條件,從而得出欲證明

南通大學(xué)畢業(yè)論文 的結(jié)論．在第二部分中我們用輔助函數(shù)法對(duì)cauchy-schwarz不等式進(jìn)行了證明,下面將對(duì)用輔助函數(shù)法證明積分不等式進(jìn)行進(jìn)一步的探討．

例3.2.1[5] 設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上連續(xù)且單調(diào)遞減,證明：對(duì)?a?(0,1)時(shí), 有： ?f?x?dx?a?f(x)dx．

00a11x證明：令f?x???f(t)dt ?0?x?1?,由f?x?連續(xù),得f?x?可導(dǎo)

x0則f??x??f?x??x??f?t?dt0xx2 ?f?x??x?f????xf?x??f??? ,(0???x)． ?2xx因?yàn)閒(x)在[0,1]上單調(diào)減少,而0???x,有f?x??f???, 從而f??t??0,f?x?在(0,1]上單調(diào)減少,則對(duì)任意a?(0,1),有f(a)?f(1)． 即

a111af(x)dx?af?x?dx． 證畢 a,兩邊同乘即得f(x)dx?fxdx??,????0000a本題根據(jù)積分不等式兩邊上下限的特點(diǎn),在區(qū)間(0,1)上構(gòu)造了一個(gè)輔助函數(shù),進(jìn)一步我們可以思考對(duì)于一般的情形,該題的結(jié)論是否依然成立呢？答案是肯定的.例3.2.2 設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上連續(xù)且單調(diào)遞減非負(fù),證明：對(duì)?a,b?(0,1),且0?a?b?1時(shí),有: ?f?x?dx?0aabf(x)dx． ?ab證明：令f?x??f??x??1xf(t)dt,?0?x?1?,由f?x?連續(xù),得f?x?可導(dǎo), 則 x?0x0f?x??x??f?t?dtx2 ?f?x??x?f????xf?x??f??? ,(0???x)． ?2xx因?yàn)閒(x)在[0,1]上單調(diào)減少,而0???x,有f?x??f???,從而f??t??0,f?x?在(0,1]上單調(diào)減少,則對(duì)任意0?a?b?1,有f(a)?f(b),即

1a1b ?f?t?dt??f?t?dt．

(3.1)

a0b0由f非負(fù),可得?f?x?dx??f?x?dx．

(3.2)0abb結(jié)合(3.1)式和(3.2)式可得 即?a1a1bfxdx?f?x?dx． ??a?0b?a0abf?x?dx??f?x?dx．

證畢

babbaa例3.2.3[6] 函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f?x??0 試證：?f(x)dx? 8

1dx?(b?a)2． f(x)南通大學(xué)畢業(yè)論文

在例3.1中我們給出了本題利用函數(shù)的凹凸性證明的過(guò)程,在這里我們將給出其利用輔助函數(shù)法證明的過(guò)程．

證明: 構(gòu)造輔助函數(shù)??x???f?t?dt?axxadt2??x?a?, 則 f?t? ???x??f?x??xaxdt1??f?t?dt??2?x?a?f?t?af?x?

??xaxf?t?xf?x?dt??dt??2dt

afxaf?t????x?f?x?f?t??????2?dt?0, a?f?t?f?x??

所以??x?是單調(diào)遞增的,即??b????a??0,故?f?x?dx?abba12dx??b?a?． 證畢 f?x?a?bbxf?x?dx?f?x?dx．

2?a例3.2.4 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)且單調(diào)增加,證明：?[7]

ba證明: 原不等式即為?xf?x?dx?則f??t??tf?t??1t2?a1?t?a??f?t??f???? , ???a,t?．

2?a?bbf?x?dx?0,構(gòu)造輔助函數(shù) ?aa2ta?ttf?t???xf?x?dx?f?x?dx ,t??a,b?，a2?ata?t1?f?x?dx?f?t???t?a?f?t???f?x?dx??a?? 2 2?b因?yàn)閍???t,f?x?單調(diào)增加,所以f??t??0．故f?t?在?a,b?上單調(diào)遞增,且f?a??0, 所以對(duì)?x?(a,b],有f?x??f?a??0．當(dāng)x?b時(shí),f?b??0．即

?baxf?x?dx?a?bbf?x?dx?0,故原不等式成立, 證畢 ?a2通過(guò)以上幾道題目的觀察我們可以發(fā)現(xiàn)：

1.當(dāng)已知被積函數(shù)連續(xù)時(shí),我們可以把積分的上限或者是下限作為變量,從而構(gòu)造一個(gè)變限積分,然后利用輔助函數(shù)的單調(diào)性加以證明．

2.輔助函數(shù)法實(shí)際上是一種將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題的方法．在解題時(shí)通常表現(xiàn)為不對(duì)問(wèn)題本身求解而是對(duì)與問(wèn)題相關(guān)的輔助函數(shù)進(jìn)行求解,從而得出原不等式的結(jié)論．

3.3 利用重要積分不等式

在第2部分中我們給出了cauchy-schwarz不等式以及它的推廣形式的證明過(guò)程,實(shí)際上cauchy-schwarz不等式的應(yīng)用也很廣泛,利用它可以解決一些復(fù)雜不等式的證明.在這一小節(jié)中我們將通過(guò)具體的例子來(lái)加以說(shuō)明它在證明積分不等式中的應(yīng)用．

例3.3.1[8] 函數(shù)f?x?在?0,1?上一階可導(dǎo),f?1??f?0??0, 試證明：?10112f?x?dx??f??x?dx．

402證明：由f?x???f??t?dt?f?0?和f?x????f??t?dt?f?1?0x1x

可得

f2?x?????x0f??t?dt??2xx1?1???12dt?f?2?t?dt?x?f?2?x?dx,(x??0,?), 000?2?111?1???12dt?f?2?t?dt?(1?x)?f?2?x?dx,(x??,1?)． xx0?2? f2?x???xf??t?dt12因此 ?f2?x?dx? 120112f??x?dx，(3.3)?0811

2(3.4)f??x?dx．8?010

?112f2?x?dx?將(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到?f2?x?dx?[2]

112f??x?dx．

證畢 4?0b例3.3.2 設(shè)f?x?,g?x?在?a,b?上可積且滿足：0?m?f?x??m,?g?x?dx?0，a則以下兩個(gè)積分不等式

??baf?x?g?x?dx2b?2??f2?x?dx?g2?x?dx?m2?b?a??g2?x?dx及

aaabbb ??baf?x?g?x?dx?2?m?m?????m?m?ba?af2?x?dx?g2?x?dx成立．

ab證明：取h?x??1,由?g?x?dx?0及定理2.2知

?babaf2?x?dx?f?x?g?x?dx?f?x?dxba?g?x?f?x?dx?f?x?dx0 ?g?x?dxaab2abb0b?ab ??b?a???fab2?x?dx?ag?x?dx??af?x?dx?ag?x?dx??b?a??af?x?g?x?dx22b?b?2?b??0．

2因此

?? baf?x?g?x?dx???2baf2?x?dx?ab1g?x?dx?b?a2??baf?x?dx??g?x?dx．

(3.5)

2b2a 10 南通大學(xué)畢業(yè)論文

由m?f?x?可知 ??baf?x?dx2b?22?m2?b?a?，bb2因而??baf?x?g?x?dx???af?x?dx?ag?x?dx?m?b?a??ag2?x?dx．

22m?m??m?m??由于0?m?f?x??m,因此?f?x??????．

2??2??化簡(jiǎn)得f2?x??mm??m?m?f?x?, 兩邊同時(shí)積分得 ?f2?x?dx?mm?b?a???m?m??f?x?dx, aabb22由算數(shù)-幾何平均值不等式可知

于是2?baf2?x?dx?mm?b?a???f2?x?dx?mm?b?a?，ab?b?a??abf2?x?dx??baf?x?dx?2?m?m??4mm2．

1則b?a ???baf?x?dx??g?x?dx??b?a??2b2a??bf?x?dxba?2af2?x??dxbaf2?x?dx?ag2?x?dx

b2?m?m??a4mmb

(3.6)f2?x?dx?g2?x?dx．

ab由式(3.5)和式(3.6)可知

??baf?x?g?x?dx?2?m?m?????m?m?2?baf2?x?dx?g2?x?dx．

證畢

ab以上兩道題分別利用了cauchy-schwarz不等式及其推廣形式．我們?cè)谧C明含有乘積及平方項(xiàng)的積分不等式時(shí)應(yīng)用cauchy-schwarz不等式頗為有用,但要注意選取適當(dāng)?shù)膄?x?與g?x?,有時(shí)還需對(duì)積分進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?/p>

3.4 利用積分中值定理

積分中值定理展現(xiàn)了將積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,或者是將復(fù)雜函數(shù)積分轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)積分的方法.其在應(yīng)用中最重要的作用就是將積分號(hào)去掉或者是將復(fù)雜的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為相比較而言較為簡(jiǎn)單的被積函數(shù),從而使得問(wèn)題能夠簡(jiǎn)化.因此合理的利用積分中值定理能夠有效的簡(jiǎn)化問(wèn)題.下面將通過(guò)兩道例題來(lái)說(shuō)明．

定理3.3（積分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上可積且m?f(x)?m,則存在 11 南通大學(xué)畢業(yè)論文

u?[m,m]使?f(x)dx?u(b?a)成立.特別地,當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù),則存在c?[a,b],使ab?baf(x)dx?f(c)(b?a)成立．

定理3.4（積分第一中值定理的推廣）若函數(shù)f?x?,g?x?在區(qū)間?a,b?上可積,f?x?連續(xù),g?x?在?a,b?上不變號(hào),則在積分區(qū)間?a,b?上至少存在一個(gè)點(diǎn)?,使得下式成立

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx．

aabb定理3.5（積分第二中值定理的推廣）若函數(shù)f?x?,g?x?在區(qū)間?a,b?上可積,且f?x?為單調(diào)函數(shù),則在積分區(qū)間?a,b?上至少存在一個(gè)點(diǎn)?,使得下式成立 ?f?x?g?x?dx?f?a??g?x?dx?f?b??g?x?dx．

aab?b?例3.4.1 設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上連續(xù)單調(diào)遞減,證明：對(duì)?a,b?(0,1),且0?a?b?1時(shí),有?f?x?dx?0aabf(x)dx,其中f?x??0． ?ab對(duì)于這道題目我們?cè)?.2.2中給出了其利用輔助函數(shù)法證明的過(guò)程,實(shí)際上這道題目還可以用積分第一中值定理來(lái)證明,下面我們將給出證明過(guò)程．

證明：由積分中值定理知

?0af?x?dx?f??1??a, ?1??0,a?； ?f?x?dx?f??2???b?a?,?2??a,b?；

ab因?yàn)?1??2,且f?x?遞減,所以有f??1??f??2?, 1a1b1bfxdx?fxdx?f?x?dx, ???????0aaab?abaab故 ?f?x?dx??f?x?dx． 證畢

0ba即

例3.4.2 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)且單調(diào)增加,證明：?baa?bbxf?x?dx?f?x?dx．

2?a同樣地，在之前的證明中我們給出了此題利用輔助函數(shù)法證明的過(guò)程,仔細(xì)分析觀察這道題目我們還可以發(fā)現(xiàn)它可以用積分第一、第二中值定理的推廣形式來(lái)證明,接著我們將給出此題在這兩種方法下的證明過(guò)程．

證法一

b?a?b?a?b?a?b??2?證明: ??x??x?fxdx?x?fxdx????a?b????f?x?dx． ???aa222?????2?ba?b 12 南通大學(xué)畢業(yè)論文

?a?b??a?b?由定理3.4可知,分別存在?1??a，??,b?, ?2?22????使得 ?a?b2aa?b?a?b??2?x?fxdx?f?x?????1?a????dx, 2?2???a?bb?a?b?a?b?? ?a?b?x?fxdx?f?x?????2?a?b???dx, 22??2?2? b?a?b?a?b??因此??x?fxdx????a2?8?b2?f????f????,由于f?x?在?0,1?單調(diào)增加的,且

210??1??2?1,所以有 f??2??f??1??0．

a?b??從而??x??f?x?dx?0,故原不等式成立, 證畢 a2??b證法二

證明:由定理3.5可知：存在???a,b?，??b?a?b?a?b?a?b??使得 ??x??fax?dx?fbx?fxdx????????dx ???a???a222??????b ???f?a??f?b????????a????b???．

由f?x?單調(diào)增加及???a,b?知f?a??f?b??0,??a?0,??b?0．

b?a?b?可得??x??f?x?dx?0,故原不等式成立, 證畢 a2??通過(guò)上述兩道題目我們可以了解到積分中值定理在實(shí)際應(yīng)用中起到的重要作用就是能夠使積分號(hào)去掉,或者是將復(fù)雜的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為相對(duì)而言較簡(jiǎn)單的被積函數(shù),從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.因此,對(duì)于證明有關(guān)結(jié)論中包含有某個(gè)函數(shù)積分的不等式,或者是要證明的結(jié)論中含有定積分的,可以考慮采用積分中值定理,從而去掉積分號(hào),或者化簡(jiǎn)被積函數(shù)．

3.5 利用積分的性質(zhì)

關(guān)于積分的性質(zhì)在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)學(xué)到了很多,我們可以利用它來(lái)證明許多問(wèn)題.在這里我們主要利用定積分的比較定理和絕對(duì)值不等式等性質(zhì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析處理．

例3.5.1[9] 設(shè)f?x?在?0,1?上導(dǎo)數(shù)連續(xù),試證：?x??0,1?，13 南通大學(xué)畢業(yè)論文

有 f?x????f??x??f?x???dx． 0?證明：由條件知f?x?在?0,1?上連續(xù),則必有最小值, 1即存在x0??0,1?,f?x0??f?x?, 由?f??t?dt?f?x??f?x0??f?x??f?x0???f??t?dt, x0x0xx f?x??f?x0???f??t?dt?f?x0???x0xxx0f??t?dt?f?x0???f??t?dt

0101 ??f?x0?dt??0110f??t?dt??f?t?dt??01f?t??f??t??f??t?dt????dt 0?

1????f??x??f?x???dx.故原不等式成立, 證畢

013.6 利用泰勒公式

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中泰勒公式有著重要的地位,它在不等式的證明、求極限以及求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值等方面有著重要的作用.關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用已經(jīng)有很多專家學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究,下面我們將舉例說(shuō)明利用泰勒公式也是證明積分不等式的一種重要方法．

定理3.6(帶有拉格朗日型余項(xiàng)的taylor公式)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的某鄰域內(nèi)具有n?1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則對(duì)該鄰域內(nèi)異于x0的任意點(diǎn)x,在x0與x之間至少存在一點(diǎn)?,使得：

f??(x0)fn(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?rn(x)

(1)

2!n!f(n?1)(?)其中rn(x)?(x?x0)n?1（?在x與x0之間）稱為拉格朗日型余項(xiàng),(1)式稱為泰勒公(n?1)!式．

例3.6.1[10] 設(shè)f?x?在?a,b?上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f?a??f?b??0,m?maxf???x?，x??a,b?試證明:?f?x?dxab?b?a??123m．

證明：對(duì)?x??a,b?,由泰勒公式得

f

f?a???f?x?????f?b???f?x?????f1?????x??a?x?21?????x??b?x?2fa?x??a,x?, , ??2fb?x??x,b?, , ??2a?b?1?22??, ????兩式相加得 f?x??f??x??x??f?a?x?f?b?x???????????2?4? 14 南通大學(xué)畢業(yè)論文

兩邊積分得 ?f?x?dx??abbaa?b?1b?22??dx, ?????f?x??x?dx?f?a?x?f?b?x????????????a2?4?bb?ba?b?a?b??其中 ?f??x??x?dx?x?dfx??f?x?dx, ???????aaa2?2???于是有 ?f?x?dx?故 ?ba1b?22?dx, ????f?a?x?f?b?x???????????aa8mb?22?dx?m?b?a?3． 證畢 f?x?dx?a?x?b?x?????8?a?12b例3.6.2[6] 設(shè)f?x?在?a,b?上有二階導(dǎo)數(shù),且f???x??0，?a?b?求證 ?f?x?dx??b?a?f??． a2??b證明：將f?x?在x0?a?b處作泰勒展開(kāi)得到 22a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b????, f?x??f??fx??f?x?????????????x,?．

222222??????????

a?b??a?b??a?b???因?yàn)閒???x??0,所以可以得到 f?x??f??fx??????，222??????ba?b??a?b??a?b?b??對(duì)不等式兩邊同時(shí)積分得到 ?f?x?dx?f?b?a?fx???????a??dx． a2??2??2??ba?b??因?yàn)??x??dx?0, 所以有?af?x?dx??b?a?a2??b?a?b?f??． 證畢

2??通過(guò)這兩道題目我們大致可以了解到當(dāng)題目中出現(xiàn)被積函數(shù)在積分區(qū)間上有意義且有二階及二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí),是提示我們用泰勒公式證明的最明顯的特征．一般情況下我們選定一個(gè)點(diǎn)xo,并寫(xiě)出f?x?在這個(gè)點(diǎn)xo處的展開(kāi)公式,然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s或與介值定理相結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題．

3.7 利用重積分

在一些積分不等式的證明中,由于被積函數(shù)的不確定,從而我們不能求出其具體的數(shù)值,這時(shí)我們可以將定積分轉(zhuǎn)換為二重積分再利用其性質(zhì)來(lái)求解．以下列舉了3種利用重積分來(lái)證明積分不等式的方法,這種技巧在高等數(shù)學(xué)中雖然不常見(jiàn),但卻是很重要的,下面我們將通過(guò)3道例題來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明．

3.7.1 直接增元法

命題一[11]：若在區(qū)間[a,b]上f(x)?g(x),則?f(x)dx??g(x)dx．

aa

bb例3.7.1[11] 設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),且滿足：

?xaf(t)dt??g(t)dt,x?[a,b],?af(t)dt??ag(t)dt,證明：?axf(x)dx??axg(x)dx．

axbbbb證明：由題得?f(t)dt??g(t)dt, aaxx從而可以得到?dx?f(t)dt??dx?g(t)dt,即?dx?[f(t)?g(t)]dt?0．

aaaaaabxbxbx左式??dx?[f(t)?g(t)]dt ???[f(t)?g(t)]dxdt(其中d?{(x,t)|a?x?b,a?t?x})aadbx ??dt?[f(t)?g(t)]dx ??(b?t)[f(t)?g(t)]dt

atabbb ?b[?f(t)dt??g(t)dt]?[?tf(t)dt??tg(t)dt]??[?tf(t)dt??tg(t)dt]?0．

aaaaaabbbbaaaabbbbbb則 ?tf(t)dt??tg(t)dt?0 , 即?xf(x)dx??xg(x)dx． 證畢

在本題中我們將一元積分不等式?f(x)dx??g(x)dx的兩邊同時(shí)增加一個(gè)積分變量

aaxx?badx，使得一元積分不等式化為二元積分不等式，然后巧妙的運(yùn)用轉(zhuǎn)換積分變量順序的方法達(dá)到證明一元積分不等式的方法.3.7.2 轉(zhuǎn)換法

在利用重積分來(lái)證明積分不等式的時(shí)候，我們不但可以采用直接增元法，還可以采用轉(zhuǎn)換法.關(guān)于轉(zhuǎn)換法又分為將累次積分轉(zhuǎn)換為重積分，以及將常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分這兩種形式.下面我們將依次來(lái)介紹這兩種方法.1.將累次積分轉(zhuǎn)為重積分

命題二[11] 若f(x)在[a,b]上可積,g(y)在[c,d]上可積,則二元函數(shù)f(x)g(y)在平面區(qū)域d?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}上可積,且

??df(x)g(y)dxdy??f(x)dx?g(y)dy??f(x)dx?g(x)dx．

acacbdbd其中d?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}

例3.7.2[11] 設(shè)p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),在[a,b]上,p(x)?0,f(x),g(x)為單調(diào)遞增函數(shù),試證：

?babap(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx．

aaabbbaaabbb

證明：由?p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx可知：

?babap(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx??p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx?0，aaabbaabbb令i??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx??p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx, ab下證i?0；

i??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx??p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx

aaaabbbb

同理

??p(x)dx?p(y)f(y)g(y)dy??p(x)f(x)dx?p(y)g(y)dy

aaaabbbb????bab??babp(x)p(y)f(y)g(y)dxdy??ba?bap(x)f(x)p(y)g?y?dxdy

aap(x)p(y)g(y)[f(y)?f(x)]dxdy．

(3.7)bbbi??p(x)d?xaabab(p)x(f)x(g?)x?dxab(p)x?(f)xdx()pxgxdx

a

??p(y)d?ybbap()xf()xg(?)x?dxab(p)y?(f)ydy(p)xgxdxab ???p(y)p(x)g(x)[f(x)?f(y)]dxdy．

(3.8)aa

(3.7)?(3.8)得

2i??ba?bap(x)p(y)[g(y)?g(x)][f(y)?f(x)]dxdy, 因?yàn)閒(x),g(x)同為單調(diào)增函數(shù),所以[g(y)?g(x)][f(y)?f(x)]?0 又因?yàn)閜(x)?0,p(y)?0,故 2i??ba?bap(x)p(y)[g(y)?g(x)][f(y)?f(x)]dxdy?0,即i?0．

證畢

2.將常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分的形式

在例3.7.2中我們介紹了將累次積分轉(zhuǎn)換為重積分,在下面的例3.7.3中我們將對(duì)常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分來(lái)進(jìn)行說(shuō)明．我們可以發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)命題,若在二重積分中被積函數(shù)f(x,y)?k,則可得到??kd??k(b?a)2,其中d?{(x,y)|a?x?b,a?y?b}．

d例3.7.3函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f?x??0試證：?f(x)dx?

abba1dx?(b?a)2． f(x)本題與前面的例3.1以及例3.2.3是同一道題目,在這里我們將利用重積分證明此題． 證明：原題即為 ?f(x)dx?abba1dy???d?, f(y)d 17 南通大學(xué)畢業(yè)論文

移項(xiàng)可得??(df(x)?1)d??0, f(y)2??(df(x)f(x)f(y)?1)d????(?1)d????(?1)d??0, f(y)f(y)f(x)ddf(x)f(y)f(x)f(y)??2)d??0,因?yàn)閒(x)?0,f(y)?0,所以??2?0． f(y)f(x)f(y)f(x)所以即為證??(d故 ??(dbbf(x)f(y)1??2)d??0 恒成立,即?f(x)dx?dx?(b?a)2成立, 證畢

aaf(x)f(y)f(x)通過(guò)以上三道例題我們可以大致了解到，在這一類定積分不等式的證明過(guò)程中我們一般先將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為二次積分的形式,進(jìn)一步再轉(zhuǎn)換為二重積分,最后利用二重積分的性質(zhì)或其計(jì)算方法得出結(jié)論.這種方法克服了數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的高維數(shù)轉(zhuǎn)化為低維數(shù)的思維定勢(shì),豐富了將二重積分與定積分之間互化的數(shù)學(xué)思想方法．

3.8 利用微分中值定理

微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的重要的一個(gè)基本定理,它是指羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理這四種定理.關(guān)于微分中值定理的應(yīng)用也是很廣泛的,證明不等式是微分中值定理最基本的應(yīng)用之一.在這里我們將對(duì)利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理證明積分不等式進(jìn)行研究.下面將通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)具體說(shuō)明這兩個(gè)定理在證明積分不等式中的應(yīng)用,以及不同的微分中值定理在證明不等式時(shí)的區(qū)別．

例3.8.1[12] 設(shè)f?a??0,f?x?在區(qū)間?a,b?上的導(dǎo)數(shù)連續(xù),證明：

2?b?a??a1bf?x?dx?1maxf??x?． x2??a,b?證明：應(yīng)用lagrange中值定理,????a,x?,其中a?x?b,使得

f?x??f?a??f?????x?a?, 因?yàn)閒?a??0, 所以f?x??mx?a, m?maxf??x?，x??a,b?從a到b積分得

?a ?bf?x?dx?m?bam2bx?adx?m??x?a?dx??x?2?

aa2bm1122b?a?maxf??x??b?a?．即??222?b?a??baf?x?dx?1maxf??x?.證畢 x2??a,b? 18 南通大學(xué)畢業(yè)論文

例3.8.2[13] 設(shè)函數(shù)f?x?在?0,1?上可微,且當(dāng)x??0,1?時(shí),0?f??x??1,f?0??0試證：

??f?x?dx???f121003?x?dx．

證明：令f?x????x0f?t?dt,g?x???f3?t?dt，0?2xf?x?,g?x?在?0,1?上滿足柯西中值定理,則

??f?x?dx?102??10f03?x?dx?f?1??f?0?f???????g?1??g?0?g???02f????f?t?dt0?f3????2?f?t?dt0?f2??? ?0???1?

2?f?t?dt??f?t?dtf2????f02??0??2f???1??1 , ?0?????1?．

2f???f????f????所以 ??10f?x?dx?2??f2?x?dx．

證畢

01通過(guò)以上兩道題目可以發(fā)現(xiàn)：

1.在應(yīng)用lagrange中值定理時(shí)先要找出符合條件的函數(shù)f?x?,并確定f?x?在使用該定理的區(qū)間?a,b?,對(duì)f?x?在區(qū)間?a,b?上使用該定理．若遇到不能用該定理直接證明的,則從結(jié)論出發(fā),觀察并分析其特征,構(gòu)造符合條件的輔助函數(shù)之后再應(yīng)用lagrange中值定理．

2.在研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的變量關(guān)系時(shí)可以應(yīng)用cauchy中值定理,在應(yīng)用該定理證明不等式時(shí)關(guān)鍵是要對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析,找出滿足cauchy中值定理的兩個(gè)函數(shù)f?x?,g?x?,并確定它們應(yīng)用柯西中值定理的區(qū)間?a,b?,然后在對(duì)f?x?,g?x?在區(qū)間?a,b?上運(yùn)用cauchy中值定理．

無(wú)論是cauchy中值定理還是lagrange中值定理在積分不等式的證明中都各具特色,都為解題提供了有力的工具.總之在證明不等式時(shí)需要對(duì)結(jié)論認(rèn)真的觀察有時(shí)還需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?才能構(gòu)造能夠應(yīng)用中值定理證明的輔助函數(shù),進(jìn)而利用微分中值定理證明不等式．

4．總

結(jié)

我們通過(guò)查閱有關(guān)積分不等式的文獻(xiàn)和資料,并對(duì)其中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比和分析后,將有關(guān)的內(nèi)容加以整理并擴(kuò)充形成了本文.在論文中給出了兩個(gè)重要的積分不等式的證明以及總結(jié)了八種積分不等式的證明方法.然而由于自己的參考資料面不夠廣,參考的大多數(shù)文獻(xiàn)都是僅給出了例題及其證明方法,而并沒(méi)有給出進(jìn)一步的分析,同時(shí)自己的知識(shí)面較窄,能力有限,導(dǎo)致還有很多難度較大的問(wèn)題尚未解決．例如,在實(shí)際的問(wèn)題中,還有一些證明方法是我們所不知道的,并且還有一些不等式并不能用本文所給出的八種方法來(lái)證明,這就需要我們進(jìn)一步的思考與研究.今后我們應(yīng)該更多的參考其他資料,充分拓展思路,以便于提出新的觀點(diǎn)．

參考文獻(xiàn)

[1]王宇,代翠玲,江宜華．一個(gè)重要積分不等式的證明、推廣及應(yīng)用[j]．荊州師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué) 版),2000,23(5)：106 [2] 張盈．cauchy-schwarz不等式的證明、推廣及應(yīng)用[j]．高師理科學(xué)刊,2014,34(3):34-37 [3] 黃群賓．積分不等式的證明[j]．川北教育學(xué)院學(xué)報(bào),1996,6(4):22-27 [4] 李志飛．積分不等式的證明[j]．高等數(shù)學(xué)研究,2014,17(6)：50-51 [5]郝涌,王娜,王霞,郭淑利．?dāng)?shù)學(xué)分析選講[m]．北京：國(guó)防工業(yè)出版社,2014 [6]張瑞,蔣珍．定積分不等式證明方法的研究[j]．河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,20(2)：18 [7]林忠．一個(gè)積分不等式的幾種證明方法[j]．成都教育學(xué)院學(xué)報(bào),2006,20(12)：66 [8]劉法貴．證明積分不等式的幾種方法[j]．高等數(shù)學(xué)研究,2008,11(1):122 [9] 蘇德礦,李錚,鐵軍．?dāng)?shù)學(xué)強(qiáng)化復(fù)習(xí)全書(shū)[m]．北京：中國(guó)證法大學(xué)出版社,2015 [10] 李小平,趙旭波．定積分不等式幾種典型證法[j]．高等數(shù)學(xué)研究,2009,12(6):13-17 [11] 黃云美．重積分在積分不等式證明中的應(yīng)用[j]．楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2014,13(3):27-33 [12] 葛亞平．積分不等式證明的再認(rèn)識(shí)[j]．河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,24(3):18-20 [13] 王麗穎,張芳,吳樹(shù)良．積分不等式的證法[j]．白城師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,21(3): 19-22

積分不等式的證明方法論文 不定積分公式的證明篇二

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù)或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見(jiàn)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù)型，求證例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題已知正整數(shù)

.分析 這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間 并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函數(shù)圖象可上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1

即，因?yàn)?，所?所以.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)在和小于曲邊梯形的面積，又，上的個(gè)矩形的面積之

上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間

圖

2即，所以

.例

3證明。

證明

構(gòu)造函數(shù)區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可知，在個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3 即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為項(xiàng)之和，中間的通項(xiàng)不等式的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時(shí)這三個(gè)數(shù)列的可當(dāng)作是某數(shù)列的前

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng)，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為（ⅰ）用表示出（ⅱ）若； 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；.的圖象在點(diǎn)（ⅲ）證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明

（ⅲ）不等式項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，此式適合即，左邊是通項(xiàng)為，則當(dāng)，故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時(shí)，時(shí)，也就是要證

由此構(gòu)造函數(shù)積，即，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

.圖5

而立.，所以，故原不等式成

積分不等式的證明方法論文 不定積分公式的證明篇三

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))

或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見(jiàn)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù)，求證

.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)

數(shù)圖象可知，在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

1即，因?yàn)?，所?所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以

.例3證明。

證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間

上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可

個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

3即

.所以

.二、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前

項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間

上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng)，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩

個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)

處的切線方程為的圖象在點(diǎn)

.（?。┯帽硎境觯áⅲ┤?；

在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（ⅲ）證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明（ⅲ）不等式

列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí)，此式適合，故只要證當(dāng)

時(shí)，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積，即

.圖5

而

故原不等式成立.，所以，

積分不等式的證明方法論文 不定積分公式的證明篇四

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見(jiàn)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù)，求證

.分析

這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)數(shù)圖象可知，在區(qū)間

并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函

上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1 即，因?yàn)?，所?所以

.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)

而函數(shù)在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以.例3 證明。

證明 構(gòu)造函數(shù)可知，在區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖

3個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3

即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng)，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖4

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為

（ⅰ）用表示出 ；

.的圖象在點(diǎn)（ⅱ）若 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（ⅲ）證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明（ⅲ）不等式數(shù)列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臅r(shí)，此式適合，故只要證當(dāng) 時(shí)，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即

.圖

5而，所以，故原不等式成立.點(diǎn)評(píng) 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題，解法雖然綜合性強(qiáng)，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個(gè)新方法新亮點(diǎn)，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化問(wèn)題，這樣才能化繁為簡(jiǎn)、化難為易，

積分不等式的證明方法論文 不定積分公式的證明篇五

探討定積分不等式的證明方法

摘要：文章針對(duì)被積函數(shù)的特性，給出了幾種關(guān)于定積分不等式的有效證明方法。

關(guān)鍵詞：定積分

不等式

證法

不等式的證明在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中很常見(jiàn)，但關(guān)于定積分不等式的證明卻一直是一個(gè)難點(diǎn)。要證明定積分不等式，首先要看被積函數(shù)，其性質(zhì)確定證明方法。本文根據(jù)被積函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、可導(dǎo)性等分別給出幾種證法。

1．運(yùn)用定積分中值定理證明

定積分中值定理是將定積分轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值與該區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，即將定積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)證明不等式。

例1：設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)且單調(diào)不增，證明?a∈[0,1]有

?a0f(x)dx≥a?f(x)dx．

01證明：由原不等式變形得即是要證：(1?a)?a0f(x)dx≥a（?f(x)dx??f(x)dx)，0010a1?a0f(x)dx≥a?f(x)dx, 對(duì)左式，f(x)在[0,1]上連續(xù)，故a由定積分中值定理知：

??1??0，a?使

（1?a)?f(x)dx?a(1?a)f(?1), 0同理對(duì)右式：??2??a，1?使a?0f(x)dx?a(1?a)f(?2)，1顯然，?1＜?2又f(x)在[0,1]上單調(diào)不增，∴f(?1)≥f(?2)故原不等式?a0f(x)dx≥a?f(x)dx成立.01定積分中值定理的運(yùn)用直觀易懂，它的條件也極其簡(jiǎn)單，易于掌握。2．運(yùn)用輔助函數(shù)證明

構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)證明不等式，首先是做函數(shù)將要證結(jié)論中的積分上限（下限）換成x，移項(xiàng)使不等式的一邊為零，另一邊的表達(dá)式即是輔助函數(shù)。然后再求f’(x)，并運(yùn)用單調(diào)性及區(qū)間端點(diǎn)值特性證明不等式。

例2：設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù),且f(x)>0.試證：?baf(x)dx?ba1dx?(b?a)2 f(x)xxaa證明：構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)??f(t)dt?則f(x)?f(x)?a

='x1dt?(x?a)2（將b換成x），f(t)11xdt?f(t)dt?2(x?a)?af(t)f(x)?xaxf(t)xf(x)dt??dt??2dt

aaf(t)f(x)f(x)f(t)??2)dt

=?a(f(t)f(x)xf(x)f(t)??2?0，∵f(x)＞0，∴

f(t)f(x)'又a

?0，∴f(b)?f(a)?0，?baf(x)dx?ba1dx?(b?a)2． f(x)該題構(gòu)造出積分上限函數(shù)，其目的是用單調(diào)性來(lái)證明不等式。這種方法開(kāi)門(mén)見(jiàn)山、直截了當(dāng)。3．運(yùn)用定積分的性質(zhì)和幾何意義證明

與定積分的概念相聯(lián)系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上積分的幾何直觀使得不等式的證明變得更加簡(jiǎn)捷。

例３：證明不等式?13sinx?dx?．

ex(1?x2)12esinx1?，兩端積分得：

ex(1?x2)e(1?x2)證明：因?yàn)??x?3時(shí)

?31sinx131?dx???x221e(1?x)e1?x12e

a?1例４：設(shè)a,b?1時(shí)，證明不等式ab?e證明：blnb??lnxdx?b?1，e1ba?1?blnb．

a?10??exdx?1，根據(jù)定積分的幾何意義知：

（a?1)b??lnxdx??1ba?10exdx?blnb?ea?1?b，a?1ab?e?blnb.即本題關(guān)鍵在于深刻領(lǐng)悟定積分概念的由來(lái)，即求曲邊梯形的面積問(wèn)題推導(dǎo)的四個(gè)步驟：分割、取點(diǎn)、作和與求極限，這里充分運(yùn)用了“近似代替”的幾何直觀來(lái)加以證明。

4．運(yùn)用拉格朗日中值定理證明

利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先要構(gòu)造滿足中值定理?xiàng)l件的函數(shù)和區(qū)間，然后進(jìn)行不等式放縮，再用定積分比較定理、估值定理或函數(shù)的絕對(duì)值不等式等。

?m，f(a)?0，例5：設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x）試證：?abf(x)dx?m(b?a)2.2證明：由題設(shè)?x?[a,b]，f(x)在[a，b]上都滿足拉氏中值定理的條件，于是有：

f(x)?f(x)?f(a)?f'(?)(x?a)，??(a,x)，?m，∵f'(x）∴f(x)?m(x?a)兩邊在[a，b]上定積分得：

?bamf(x)dx??m(b?a)dx?(b?a)2.a2b此題運(yùn)用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)直如行云流水，如果采用其他辦法顯然比較繁瑣。

5．運(yùn)用taylor公式證明

當(dāng)已知被積函數(shù)f(x)二階或二階以上可導(dǎo)且又知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí)，通常采用泰勒展開(kāi)式來(lái)證明。首先要寫(xiě)出f(x)的泰勒展開(kāi)式，然后根據(jù)題意寫(xiě)出某些點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s以變成不等式，最后用定積分的性質(zhì)進(jìn)行處理。

例6：設(shè)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加，且f“(x)＞0，證明

(b?a)f(a)＜?abf(a)?f(b)f(x)dx＜(b?a)

2證明：先證左不等號(hào)：(b?a)f(a)＜

?baf(x)dx，?x?[a,b]，x＞a，f(x)單調(diào)增加，所以f(x)＞f(a)

故?baf(x)dx＞(b?a)f(a)?（1）再證右不等號(hào)：?baf(x)dx＜(b?a)f(a)?f(b)，2?t?[a,b]，f(t)在點(diǎn)x處的taylor展式為：

f(t)?f(x)?f'(x)(t?x)?因

1f”(?)(t?x)2,其中?在t與x之間，2!f"(?)＞0，f(t)＞f(x)?f'(x)(t?x)，所以將t?b,t?a分別代入上式并相加得：

f(a)?f(b)＞2f(x)?(a?b)f'(x)?2xf(x)，將此式在[a,b]上積分得：

?f(a)?f(b)?(b?a)＞2?af(x)dx?(a?b)?af'(x)dx?2?axf(x)dx，有2[f(a)?f(b)](b?a)＞4故

bbb?baf(x)dx，?baf(a)?f(b)f(x)dx＜(b?a)?（2）

2綜合（1）、（2），公式的應(yīng)用在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一個(gè)絕對(duì)的難點(diǎn)，往往很難掌握。一個(gè)題目在你用其他方式很難解決時(shí)，taylor公式常會(huì)給你意想不到的突破。

6．運(yùn)用柯西—斯瓦茲不等式證明 柯西—斯瓦茲不等式：

例7：設(shè)f(x)在[0,1]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(1)?f(0)?1，試證：0[f'(x)]dx?1.證明：∵f(1)?f(0)??12?10f'(x)dx，又f(1)?f(0)?1，所以?0f'(x)dx?1，因f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，所以f(x)在[0,1]上連續(xù)，2dx[f'(x)]dx?(f'(x)dx)?1，由柯西—斯瓦茲不等式得：?0?0?011211即是0[f'(x)]dx?1.柯西—斯瓦茲不等式是大學(xué)數(shù)學(xué)中的又一難點(diǎn)，雖然記憶起來(lái)并不困難，但應(yīng)用是靈活多變的。

7．運(yùn)用重積分證明

重積分要化為定積分來(lái)計(jì)算，這是眾所周知的事實(shí)，但反之定積分的乘積往往又可以化為重積分，將定積分不等式的證明化為重積分不等式來(lái)證明，也是一種常見(jiàn)的方法。

例8：設(shè)f(x)是在[0，1]上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，?12?試證：?xf0101xf(x)dx23?(x)dx13??101f3(x)dxf(x)dx122.1102i?xf(x)dxf(x)dx?f(x)dxxf證明：設(shè)????(x)dx

00003232xf(x)f(y)dxdy?f(x)f(y)ydxdy

=????dd3

=??ddf3(x)f2(y)(x?y)dxdy?（1）

23i?f(x)f(y)(y?x)dxdy?（2）同樣

??232i?(x?y)f(x)f(y)(f(x)?f(y))dxdy，（1）+（2）可得??d由于f(x)在[0，1]上單調(diào)增加，故(x?∴i1y)(f(x)?f(y))?0，13100?0，從而?0xfxf(x)dx2313(x)dx?f(x)dx??f(x)dx?xf2(x)dx

012?即?xf010?(x)dx??101f3(x)dxf(x)dx2

0總的來(lái)說(shuō)，證明不等式是一門(mén)藝術(shù)，它具有自己獨(dú)到的技術(shù)手法。在此，我研究了上述7種方法來(lái)證明不等式，使一些復(fù)雜不等式的證明變得更加簡(jiǎn)潔，也會(huì)使一些不等式的證明變得一題多解。