2025年定積分不等式的證明方法(3篇)

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定積分不等式的證明方法篇一

摘要：文章針對(duì)被積函數(shù)的特性，給出了幾種關(guān)于定積分不等式的有效證明方法。

關(guān)鍵詞：定積分

不等式

證法

不等式的證明在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中很常見，但關(guān)于定積分不等式的證明卻一直是一個(gè)難點(diǎn)。要證明定積分不等式，首先要看被積函數(shù)，其性質(zhì)確定證明方法。本文根據(jù)被積函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、可導(dǎo)性等分別給出幾種證法。

定積分中值定理是將定積分轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值與該區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，即將定積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)來證明不等式。

?a0f(x)dx≥a?f(x)dx．

??1??0，a?使

構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)證明不等式，首先是做函數(shù)將要證結(jié)論中的積分上限（下限）換成x，移項(xiàng)使不等式的一邊為零，另一邊的表達(dá)式即是輔助函數(shù)。然后再求f’(x)，并運(yùn)用單調(diào)性及區(qū)間端點(diǎn)值特性證明不等式。

aaf(t)f(x)f(x)f(t)??2)dt

與定積分的概念相聯(lián)系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上積分的幾何直觀使得不等式的證明變得更加簡(jiǎn)捷。

例３：證明不等式?13sinx?dx?．

ex(1?x2)12esinx1?，兩端積分得：

ex(1?x2)e(1?x2)證明：因?yàn)??x?3時(shí)

?31sinx131?dx???x221e(1?x)e1?x12e

a?10??exdx?1，根據(jù)定積分的幾何意義知：

（a?1)b??lnxdx??1ba?10exdx?blnb?ea?1?b，a?1ab?e?blnb.即本題關(guān)鍵在于深刻領(lǐng)悟定積分概念的由來，即求曲邊梯形的面積問題推導(dǎo)的四個(gè)步驟：分割、取點(diǎn)、作和與求極限，這里充分運(yùn)用了“近似代替”的幾何直觀來加以證明。

利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先要構(gòu)造滿足中值定理?xiàng)l件的函數(shù)和區(qū)間，然后進(jìn)行不等式放縮，再用定積分比較定理、估值定理或函數(shù)的絕對(duì)值不等式等。

?bamf(x)dx??m(b?a)dx?(b?a)2.a2b此題運(yùn)用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)直如行云流水，如果采用其他辦法顯然比較繁瑣。

5．運(yùn)用taylor公式證明

當(dāng)已知被積函數(shù)f(x)二階或二階以上可導(dǎo)且又知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí)，通常采用泰勒展開式來證明。首先要寫出f(x)的泰勒展開式，然后根據(jù)題意寫出某些點(diǎn)的泰勒展開式，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s以變成不等式，最后用定積分的性質(zhì)進(jìn)行處理。

例6：設(shè)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加，且f“(x)＞0，證明

(b?a)f(a)＜?abf(a)?f(b)f(x)dx＜(b?a)

2證明：先證左不等號(hào)：(b?a)f(a)＜

?baf(x)dx，?x?[a,b]，x＞a，f(x)單調(diào)增加，所以f(x)＞f(a)

f(t)?f(x)?f'(x)(t?x)?因

bbb?baf(x)dx，?baf(a)?f(b)f(x)dx＜(b?a)?（2）

2綜合（1）、（2），公式的應(yīng)用在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一個(gè)絕對(duì)的難點(diǎn)，往往很難掌握。一個(gè)題目在你用其他方式很難解決時(shí)，taylor公式常會(huì)給你意想不到的突破。

6．運(yùn)用柯西—斯瓦茲不等式證明 柯西—斯瓦茲不等式：

例7：設(shè)f(x)在[0,1]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(1)?f(0)?1，試證：0[f'(x)]dx?1.證明：∵f(1)?f(0)??12?10f'(x)dx，又f(1)?f(0)?1，所以?0f'(x)dx?1，因f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，所以f(x)在[0,1]上連續(xù)，2dx[f'(x)]dx?(f'(x)dx)?1，由柯西—斯瓦茲不等式得：?0?0?011211即是0[f'(x)]dx?1.柯西—斯瓦茲不等式是大學(xué)數(shù)學(xué)中的又一難點(diǎn)，雖然記憶起來并不困難，但應(yīng)用是靈活多變的。

7．運(yùn)用重積分證明

重積分要化為定積分來計(jì)算，這是眾所周知的事實(shí)，但反之定積分的乘積往往又可以化為重積分，將定積分不等式的證明化為重積分不等式來證明，也是一種常見的方法。

=????dd3

=??ddf3(x)f2(y)(x?y)dxdy?（1）

23i?f(x)f(y)(y?x)dxdy?（2）同樣

0總的來說，證明不等式是一門藝術(shù)，它具有自己獨(dú)到的技術(shù)手法。在此，我研究了上述7種方法來證明不等式，使一些復(fù)雜不等式的證明變得更加簡(jiǎn)潔，也會(huì)使一些不等式的證明變得一題多解。

定積分不等式的證明方法篇二

.分析

并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函

.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)

2即，所以.例3 證明。

證明 構(gòu)造函數(shù)可知，在區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖

3個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3

即

.所以

.二、型

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為

（ⅰ）用表示出 ；

.的圖象在點(diǎn)（ⅱ）若 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（ⅲ）證明:

.圖

定積分不等式的證明方法篇三

我們把形如(為常數(shù))

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù)，求證

1即，因?yàn)?，所?所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以

.例3證明。

證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間

上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可

個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

3即

.所以

.二、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋鞯膱D象，由圖4知，在區(qū)間

個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)

.（?。┯帽硎境觯áⅲ┤?；

在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（ⅲ）證明:

列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí)，此式適合，故只要證當(dāng)

時(shí)，即，也就是要證

積，即

.圖5

而

故原不等式成立.，所以，