2025年積分不等式的證明論文(五篇)

人的記憶力會隨著歲月的流逝而衰退，寫作可以彌補(bǔ)記憶的不足，將曾經(jīng)的人生經(jīng)歷和感悟記錄下來，也便于保存一份美好的回憶。寫范文的時候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？以下是我為大家搜集的優(yōu)質(zhì)范文，僅供參考，一起來看看吧

積分不等式的證明論文篇一

摘要

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,積分不等式的證明一直是一個無論在難度還是技巧性方面都很復(fù)雜的內(nèi)容.對積分不等式的證明方法進(jìn)行研究不但能夠系統(tǒng)的總結(jié)其證明方法,還可以更好的將初等數(shù)學(xué)的知識和高等數(shù)學(xué)的結(jié)合起來.并且可以拓寬我們的視野、發(fā)散我們的思維、提高我們的創(chuàng)新能力,因此可以提高我們解決問題的效率.本文主要通過查閱有關(guān)的文獻(xiàn)和資料的方法,對其中的內(nèi)容進(jìn)行對比和分析,并加以推廣和補(bǔ)充,提出自己的觀點(diǎn).本文首先介紹了兩個重要的積分不等式并給出了證明,然后分類討論了證明積分不等式的八種方法,即利用函數(shù)的凹凸性、輔助函數(shù)法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用積分的性質(zhì)、利用泰勒公式、利用重積分、利用微分中值定理,最后對全文進(jìn)行了總結(jié)．

關(guān)鍵詞：積分不等式,定積分,中值定理,柯西-施瓦茲不等式,單調(diào)性

abstract

when we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．in this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, taylor formula,double integral and differential mean value y,the full paper is summarized．

key words: integral inequality, definite integral,mean value theorem，cauchy-schwarz inequality, monotonicty

1.引

言

不等式在數(shù)學(xué)中有著重要的作用,在數(shù)量關(guān)系上,盡管不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加普遍的存在于人們的現(xiàn)實(shí)世界里,然而人們對于不等式的認(rèn)識要比方程遲的多.直到17世紀(jì)之后,不等式的理論才逐漸的成長起來,成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個重要組成部分.眾所周知,不等式理論在數(shù)學(xué)理論中有著重要的地位,它滲透到了數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域中,因而它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個重要的內(nèi)容.其中積分不等式更是高等數(shù)學(xué)中的一個重要的內(nèi)容．

實(shí)際上關(guān)于定積分的概念起源于求平面圖形的面積和一些其他的實(shí)際問題.有關(guān)定積分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希臘時期,阿基米德就曾經(jīng)用求和的方法計算過拋物線弓形和其他圖形的面積.在歷史上,積分觀念的形成要比微分早.然而直到17世紀(jì)后半期,較為完整的定積分理論還沒有能夠形成,一直到newton-leibniz公式建立之后,有關(guān)計算的問題得以解決后,定積分才迅速的建立并成長起來．

本論文研究的積分不等式結(jié)合了定積分以及不等式.關(guān)于它的證明向來是高等數(shù)學(xué)中的一個重點(diǎn)及難點(diǎn).對積分不等式的證明方法進(jìn)行研究，并使其系統(tǒng)化，在很大程度上為不同的數(shù)學(xué)分支之間架起了橋梁.深刻的理解及掌握積分不等式的證明方法可以提升我們對其理論知識的理解,同時可以提高我們的創(chuàng)造思維和邏輯思維．

在論文的第三部分中對積分不等式的證明方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.分別從利用函數(shù)的凹凸性、輔助函數(shù)法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用泰勒公式、利用重積分、利用微分中值定理、利用定積分的性質(zhì)這八個方面給出了例題及證明方法.這樣通過幾道常見的積分不等式的證明題,從不同的角度,用不同的方法研究、分析了積分不等式的特點(diǎn),歸納總結(jié)出了其證明方法.同時論文中也對有的題目給出了多種證明方法,這啟示我們對于同一道積分不等式而言它的證明方法往往不止一種,我們需要根據(jù)實(shí)際情況采用合適的方法去證明,從而達(dá)到將問題化繁為簡的目的．

2.幾個重要的積分不等式

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們遇到過許多重要的積分不等式,如cauchy-schwarz不等式,young不等式等.它們的形式及證明方法都有很多種,在這一小結(jié)中我們將給出這兩種積分不等式的證明方法．

2.1 cauchy-schwarz不等式

無論是在代數(shù)還是在幾何中cauchy-schwarz不等式的應(yīng)用都很廣泛,它是不同于均值不等式的另一個重要不等式．其形式有在實(shí)數(shù)域中的、微積分中的、概率空間??,f,p?中的以及n維歐氏空間中的4種形式.接下來在這一部分中我們將對其在微積分中的形式進(jìn)行研究．

定理2.1[1] 設(shè)f(x), g(x)在[a,b]上連續(xù),則有

[?f(x)g(x)dx]2?{?[f(x)]2dx}? {?[g(x)]2dx}．

aaabbb證明：要證明原不等式成立,我們只需要證

?

設(shè)f?t???t2abaf2?x?dx??at2bb?g?x?dx??f?x?g?x?dx??0成立． ???a? 222tf?x?dx??g?x?dx???f?x?g?x?dx?,則只要證f?b??f?a?成立，?a?a??由f?t?在[a,b]上連續(xù),在?a,b?內(nèi)可導(dǎo),得

f??t??f2?t??g2?x?dx?g2?t??f2?x?dx?2f?t?g?t??f?x?g?x?dxaaa2222???ftgx?2ftgtfxgx?gtf???????????????x???dx a?tttt

???f?t?g?x??g?t?f?x???dx?0．

(2.1)a?由(2.1)式可知f?t?在[a,b]上遞增,由b?a,知f?b??f?a?,故原不等式成立．

證畢

實(shí)際上關(guān)于cauchy-schwarz不等式的證明方法有很多,這里我們采用的證明方法是較為普遍的輔助函數(shù)法,它將要證明的原積分不等式通過移項轉(zhuǎn)變?yōu)榱伺袛嗪瘮?shù)在兩個端點(diǎn)處函數(shù)值大小的問題．通過觀察我們可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)原cauchy-schwarz不等式能夠改寫成以下行列式的形式 t2 4 南通大學(xué)畢業(yè)論文

?f?x?f?x?dx?g?x?f?x?dx?0，aabb?baf?x?g?x?dx?g?x?g?x?dxab由此我們可以聯(lián)想到是否可以將它進(jìn)行推廣？答案是肯定的.下面我們將給出

cauchy?schwarz不等式的推廣形式．

定理2.2[2] 設(shè)f?x?,g?x?,h?x?在?a,b?上可積,則

???h?x?f?x?dx?f?x?g?x?dx?g?x?g?x?dx?h?x?g?x?dx?0． ?f?x?h?x?dx?g?x?h?x?dx?h?x?h?x?dxaaabbbaaabbbaaabf?x?f?x?dxbg?x?f?x?dxb 證明：對任意的實(shí)數(shù)t1,t2,t3,有

?ba?t1f?x??t2g?x??t3h?x??dx

bbbaaa2?t12?f2?x?dx?t22?g2?x?dx?t32?h2?x?dxbbaa

ba?2t1t2?f?x?g?x?dx?2t1t3?f?x?h?x?dx?2t2t3?g?x?h?x?dx?0． 注意到關(guān)于t1,t2,t3的二次型實(shí)際上為半正定二次型, 從而其系數(shù)矩陣行列式為

?babbaf2?x?dx?ba?g?x?f?xd?x?ab?h?x?b2fxdx

????x?f?x?hfax?g??xdxdx?ba?b2a?g?xdx?bax??h??ag?0x．d x證畢 xdx?g??x?hxdx???h以上的推廣是將cauchy-schwarz不等式的行列式由二階推廣到了三階的形式,事實(shí)上cauchy-schwarz不等式是一個在很多方面都很重要的不等式,例如在證明不等式,求函數(shù)最值等方面.若能靈活的運(yùn)用它則可以使一些較困難的問題得到解決.下面我們會在第三部分給出cauchy-schwarz不等式及其推廣形式在積分不等式證明中的應(yīng)用．

除了cauchy-schwarz不等式之外還有很多重要的積分不等式,例如young不等式,相較于cauchy-schwarz不等式我們對young不等式的了解比較少,實(shí)際上它也具有不同的形式且在現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.接著我們將對young不等式進(jìn)行一些研究．

2.2 young不等式

young不等式,以及和它相關(guān)的minkowski不等式,h?lder不等式,這些都是在現(xiàn)代分

析數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛的不等式,在調(diào)和函數(shù)、數(shù)學(xué)分析、泛函分析以及偏微分方程中這三個不等式的身影隨處可見,是使用得最為普遍,最為平凡的知識工具.下面我們將給出積分形式的young不等式的證明．

定理2.3[3] 設(shè)f(x)在[0,c]（c?0）上連續(xù)且嚴(yán)格遞增,若f(0)?0,a?[0,c]且b?[0,f(c)],則?0f(x)dx??0f?1(x)dx?ab,其中f?1是f的反函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)b?f(a)時等號成立．

證明：引輔助函數(shù)g(a)?ab??f(x)dx，(2.2)

0aab把b?0看作參變量,由于g?(a)?b?f(a),且f嚴(yán)格遞增,于是

當(dāng) 0?a?f?1(b)時,g?(a)?0；當(dāng) a?f?1(b)時,g?(a)?0；當(dāng) a?f?1(b)時,g?(a)?0． 因此 當(dāng)a?f?1(b)時,g(a)取到g的最大值,即

g?a??maxg?x??gf?1?b?

(2.3)

由分部積分得

f?1(b)f?1(b)?0?g(f(b))?bf(b)??作代換y?f(x),上面積分變?yōu)?/p>

?1?1f(x)dx??0xdf(x)，g(f?1(b))??f?1(y)dy，(2.4)

0b將(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得

ab??f(x)dx??f(y)dy??f?1(x)dx，000ab?1b即?f(x)dx??f?1(x)dx?ab． 證畢

00ab 6 南通大學(xué)畢業(yè)論文

3.定積分不等式常見的證明方法

關(guān)于積分不等式的證明方法較為繁多,難度及技巧性也較大,因此對其進(jìn)行系統(tǒng)的歸納總結(jié)是很有必要的．在這一部分中我們將歸納出利用輔助函數(shù)、微分中值定理、重要積分不等式及積分中值定理等證明積分不等式的方法．

3.1 利用函數(shù)的凹凸性

在數(shù)學(xué)分析以及高等數(shù)學(xué)中,我們常常會遇到一類特殊的函數(shù)—凸函數(shù)．凸函數(shù)具有重要的理論研究價值和廣泛的實(shí)際應(yīng)用,在有些不等式的證明中,若能靈活地利用凸函數(shù)的性質(zhì)往往能夠簡潔巧妙的解決問題．下面給出一個例子加以說明．

定理3.1 若??t?定義在間隔?m,m?內(nèi),且????t??0,則??t?必為下凸函數(shù)．

定理3.2 設(shè)f?x?在[a,b]上為可積分函數(shù),而m?f(x)?m．又設(shè)??t?在間隔m?t?m內(nèi)為連續(xù)的下凸函數(shù),則有不等式

??1b?1b?fxdx???f?x??dx． ?????aa?b?a?b?abb例3.1[4] 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù),且f?x??0,求證：?f?x?dx?aa12dx??b?a?． f?x?證明: 取??u??112, 因為???u???2?0,????u??3?0,?u?0? uuu即在u?0時,y???u?為凸函數(shù),故有

1b?1b???f?x?dx????f?x??dx，??aab?ab?a??b?a即?f?x?dxab??ba1dxbbf?x?12dx??b?a?．

證畢，故?f?x?dx?aafxb?a??在上述的題目中我們可以發(fā)現(xiàn)在證明中常常先利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的凹凸性,然后再利用凹（凸）函數(shù)的性質(zhì)來證明不等式．然而對于實(shí)際給出的題目,我們往往需要先構(gòu)造一個凹（凸）函數(shù),然后才能利用其性質(zhì)來證明我們所要證明的問題．

3.2 輔助函數(shù)法

輔助函數(shù)法是積分不等式證明中的一種非常重要的方法,往往我們會根據(jù)不等式的特點(diǎn),構(gòu)造與問題相關(guān)的輔助函數(shù),考慮在相同的區(qū)間上函數(shù)所滿足的條件,從而得出欲證明

南通大學(xué)畢業(yè)論文 的結(jié)論．在第二部分中我們用輔助函數(shù)法對cauchy-schwarz不等式進(jìn)行了證明,下面將對用輔助函數(shù)法證明積分不等式進(jìn)行進(jìn)一步的探討．

例3.2.1[5] 設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上連續(xù)且單調(diào)遞減,證明：對?a?(0,1)時, 有： ?f?x?dx?a?f(x)dx．

00a11x證明：令f?x???f(t)dt ?0?x?1?,由f?x?連續(xù),得f?x?可導(dǎo)

x0則f??x??f?x??x??f?t?dt0xx2 ?f?x??x?f????xf?x??f??? ,(0???x)． ?2xx因為f(x)在[0,1]上單調(diào)減少,而0???x,有f?x??f???, 從而f??t??0,f?x?在(0,1]上單調(diào)減少,則對任意a?(0,1),有f(a)?f(1)． 即

a111af(x)dx?af?x?dx． 證畢 a,兩邊同乘即得f(x)dx?fxdx??,????0000a本題根據(jù)積分不等式兩邊上下限的特點(diǎn),在區(qū)間(0,1)上構(gòu)造了一個輔助函數(shù),進(jìn)一步我們可以思考對于一般的情形,該題的結(jié)論是否依然成立呢？答案是肯定的.例3.2.2 設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上連續(xù)且單調(diào)遞減非負(fù),證明：對?a,b?(0,1),且0?a?b?1時,有: ?f?x?dx?0aabf(x)dx． ?ab證明：令f?x??f??x??1xf(t)dt,?0?x?1?,由f?x?連續(xù),得f?x?可導(dǎo), 則 x?0x0f?x??x??f?t?dtx2 ?f?x??x?f????xf?x??f??? ,(0???x)． ?2xx因為f(x)在[0,1]上單調(diào)減少,而0???x,有f?x??f???,從而f??t??0,f?x?在(0,1]上單調(diào)減少,則對任意0?a?b?1,有f(a)?f(b),即

1a1b ?f?t?dt??f?t?dt．

(3.1)

a0b0由f非負(fù),可得?f?x?dx??f?x?dx．

(3.2)0abb結(jié)合(3.1)式和(3.2)式可得 即?a1a1bfxdx?f?x?dx． ??a?0b?a0abf?x?dx??f?x?dx．

證畢

babbaa例3.2.3[6] 函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f?x??0 試證：?f(x)dx? 8

1dx?(b?a)2． f(x)南通大學(xué)畢業(yè)論文

在例3.1中我們給出了本題利用函數(shù)的凹凸性證明的過程,在這里我們將給出其利用輔助函數(shù)法證明的過程．

證明: 構(gòu)造輔助函數(shù)??x???f?t?dt?axxadt2??x?a?, 則 f?t? ???x??f?x??xaxdt1??f?t?dt??2?x?a?f?t?af?x?

??xaxf?t?xf?x?dt??dt??2dt

afxaf?t????x?f?x?f?t??????2?dt?0, a?f?t?f?x??

所以??x?是單調(diào)遞增的,即??b????a??0,故?f?x?dx?abba12dx??b?a?． 證畢 f?x?a?bbxf?x?dx?f?x?dx．

2?a例3.2.4 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)且單調(diào)增加,證明：?[7]

ba證明: 原不等式即為?xf?x?dx?則f??t??tf?t??1t2?a1?t?a??f?t??f???? , ???a,t?．

2?a?bbf?x?dx?0,構(gòu)造輔助函數(shù) ?aa2ta?ttf?t???xf?x?dx?f?x?dx ,t??a,b?，a2?ata?t1?f?x?dx?f?t???t?a?f?t???f?x?dx??a?? 2 2?b因為a???t,f?x?單調(diào)增加,所以f??t??0．故f?t?在?a,b?上單調(diào)遞增,且f?a??0, 所以對?x?(a,b],有f?x??f?a??0．當(dāng)x?b時,f?b??0．即

?baxf?x?dx?a?bbf?x?dx?0,故原不等式成立, 證畢 ?a2通過以上幾道題目的觀察我們可以發(fā)現(xiàn)：

1.當(dāng)已知被積函數(shù)連續(xù)時,我們可以把積分的上限或者是下限作為變量,從而構(gòu)造一個變限積分,然后利用輔助函數(shù)的單調(diào)性加以證明．

2.輔助函數(shù)法實(shí)際上是一種將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題的方法．在解題時通常表現(xiàn)為不對問題本身求解而是對與問題相關(guān)的輔助函數(shù)進(jìn)行求解,從而得出原不等式的結(jié)論．

3.3 利用重要積分不等式

在第2部分中我們給出了cauchy-schwarz不等式以及它的推廣形式的證明過程,實(shí)際上cauchy-schwarz不等式的應(yīng)用也很廣泛,利用它可以解決一些復(fù)雜不等式的證明.在這一小節(jié)中我們將通過具體的例子來加以說明它在證明積分不等式中的應(yīng)用．

例3.3.1[8] 函數(shù)f?x?在?0,1?上一階可導(dǎo),f?1??f?0??0, 試證明：?10112f?x?dx??f??x?dx．

402證明：由f?x???f??t?dt?f?0?和f?x????f??t?dt?f?1?0x1x

可得

f2?x?????x0f??t?dt??2xx1?1???12dt?f?2?t?dt?x?f?2?x?dx,(x??0,?), 000?2?111?1???12dt?f?2?t?dt?(1?x)?f?2?x?dx,(x??,1?)． xx0?2? f2?x???xf??t?dt12因此 ?f2?x?dx? 120112f??x?dx，(3.3)?0811

2(3.4)f??x?dx．8?010

?112f2?x?dx?將(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到?f2?x?dx?[2]

112f??x?dx．

證畢 4?0b例3.3.2 設(shè)f?x?,g?x?在?a,b?上可積且滿足：0?m?f?x??m,?g?x?dx?0，a則以下兩個積分不等式

??baf?x?g?x?dx2b?2??f2?x?dx?g2?x?dx?m2?b?a??g2?x?dx及

aaabbb ??baf?x?g?x?dx?2?m?m?????m?m?ba?af2?x?dx?g2?x?dx成立．

ab證明：取h?x??1,由?g?x?dx?0及定理2.2知

?babaf2?x?dx?f?x?g?x?dx?f?x?dxba?g?x?f?x?dx?f?x?dx0 ?g?x?dxaab2abb0b?ab ??b?a???fab2?x?dx?ag?x?dx??af?x?dx?ag?x?dx??b?a??af?x?g?x?dx22b?b?2?b??0．

2因此

?? baf?x?g?x?dx???2baf2?x?dx?ab1g?x?dx?b?a2??baf?x?dx??g?x?dx．

(3.5)

2b2a 10 南通大學(xué)畢業(yè)論文

由m?f?x?可知 ??baf?x?dx2b?22?m2?b?a?，bb2因而??baf?x?g?x?dx???af?x?dx?ag?x?dx?m?b?a??ag2?x?dx．

22m?m??m?m??由于0?m?f?x??m,因此?f?x??????．

2??2??化簡得f2?x??mm??m?m?f?x?, 兩邊同時積分得 ?f2?x?dx?mm?b?a???m?m??f?x?dx, aabb22由算數(shù)-幾何平均值不等式可知

于是2?baf2?x?dx?mm?b?a???f2?x?dx?mm?b?a?，ab?b?a??abf2?x?dx??baf?x?dx?2?m?m??4mm2．

1則b?a ???baf?x?dx??g?x?dx??b?a??2b2a??bf?x?dxba?2af2?x??dxbaf2?x?dx?ag2?x?dx

b2?m?m??a4mmb

(3.6)f2?x?dx?g2?x?dx．

ab由式(3.5)和式(3.6)可知

??baf?x?g?x?dx?2?m?m?????m?m?2?baf2?x?dx?g2?x?dx．

證畢

ab以上兩道題分別利用了cauchy-schwarz不等式及其推廣形式．我們在證明含有乘積及平方項的積分不等式時應(yīng)用cauchy-schwarz不等式頗為有用,但要注意選取適當(dāng)?shù)膄?x?與g?x?,有時還需對積分進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?/p>

3.4 利用積分中值定理

積分中值定理展現(xiàn)了將積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,或者是將復(fù)雜函數(shù)積分轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)積分的方法.其在應(yīng)用中最重要的作用就是將積分號去掉或者是將復(fù)雜的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為相比較而言較為簡單的被積函數(shù),從而使得問題能夠簡化.因此合理的利用積分中值定理能夠有效的簡化問題.下面將通過兩道例題來說明．

定理3.3（積分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上可積且m?f(x)?m,則存在 11 南通大學(xué)畢業(yè)論文

u?[m,m]使?f(x)dx?u(b?a)成立.特別地,當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù),則存在c?[a,b],使ab?baf(x)dx?f(c)(b?a)成立．

定理3.4（積分第一中值定理的推廣）若函數(shù)f?x?,g?x?在區(qū)間?a,b?上可積,f?x?連續(xù),g?x?在?a,b?上不變號,則在積分區(qū)間?a,b?上至少存在一個點(diǎn)?,使得下式成立

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx．

aabb定理3.5（積分第二中值定理的推廣）若函數(shù)f?x?,g?x?在區(qū)間?a,b?上可積,且f?x?為單調(diào)函數(shù),則在積分區(qū)間?a,b?上至少存在一個點(diǎn)?,使得下式成立 ?f?x?g?x?dx?f?a??g?x?dx?f?b??g?x?dx．

aab?b?例3.4.1 設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上連續(xù)單調(diào)遞減,證明：對?a,b?(0,1),且0?a?b?1時,有?f?x?dx?0aabf(x)dx,其中f?x??0． ?ab對于這道題目我們在3.2.2中給出了其利用輔助函數(shù)法證明的過程,實(shí)際上這道題目還可以用積分第一中值定理來證明,下面我們將給出證明過程．

證明：由積分中值定理知

?0af?x?dx?f??1??a, ?1??0,a?； ?f?x?dx?f??2???b?a?,?2??a,b?；

ab因為?1??2,且f?x?遞減,所以有f??1??f??2?, 1a1b1bfxdx?fxdx?f?x?dx, ???????0aaab?abaab故 ?f?x?dx??f?x?dx． 證畢

0ba即

例3.4.2 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)且單調(diào)增加,證明：?baa?bbxf?x?dx?f?x?dx．

2?a同樣地，在之前的證明中我們給出了此題利用輔助函數(shù)法證明的過程,仔細(xì)分析觀察這道題目我們還可以發(fā)現(xiàn)它可以用積分第一、第二中值定理的推廣形式來證明,接著我們將給出此題在這兩種方法下的證明過程．

證法一

b?a?b?a?b?a?b??2?證明: ??x??x?fxdx?x?fxdx????a?b????f?x?dx． ???aa222?????2?ba?b 12 南通大學(xué)畢業(yè)論文

?a?b??a?b?由定理3.4可知,分別存在?1??a，??,b?, ?2?22????使得 ?a?b2aa?b?a?b??2?x?fxdx?f?x?????1?a????dx, 2?2???a?bb?a?b?a?b?? ?a?b?x?fxdx?f?x?????2?a?b???dx, 22??2?2? b?a?b?a?b??因此??x?fxdx????a2?8?b2?f????f????,由于f?x?在?0,1?單調(diào)增加的,且

210??1??2?1,所以有 f??2??f??1??0．

a?b??從而??x??f?x?dx?0,故原不等式成立, 證畢 a2??b證法二

證明:由定理3.5可知：存在???a,b?，??b?a?b?a?b?a?b??使得 ??x??fax?dx?fbx?fxdx????????dx ???a???a222??????b ???f?a??f?b????????a????b???．

由f?x?單調(diào)增加及???a,b?知f?a??f?b??0,??a?0,??b?0．

b?a?b?可得??x??f?x?dx?0,故原不等式成立, 證畢 a2??通過上述兩道題目我們可以了解到積分中值定理在實(shí)際應(yīng)用中起到的重要作用就是能夠使積分號去掉,或者是將復(fù)雜的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為相對而言較簡單的被積函數(shù),從而使問題得到簡化.因此,對于證明有關(guān)結(jié)論中包含有某個函數(shù)積分的不等式,或者是要證明的結(jié)論中含有定積分的,可以考慮采用積分中值定理,從而去掉積分號,或者化簡被積函數(shù)．

3.5 利用積分的性質(zhì)

關(guān)于積分的性質(zhì)在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)學(xué)到了很多,我們可以利用它來證明許多問題.在這里我們主要利用定積分的比較定理和絕對值不等式等性質(zhì)對問題進(jìn)行分析處理．

例3.5.1[9] 設(shè)f?x?在?0,1?上導(dǎo)數(shù)連續(xù),試證：?x??0,1?，13 南通大學(xué)畢業(yè)論文

有 f?x????f??x??f?x???dx． 0?證明：由條件知f?x?在?0,1?上連續(xù),則必有最小值, 1即存在x0??0,1?,f?x0??f?x?, 由?f??t?dt?f?x??f?x0??f?x??f?x0???f??t?dt, x0x0xx f?x??f?x0???f??t?dt?f?x0???x0xxx0f??t?dt?f?x0???f??t?dt

0101 ??f?x0?dt??0110f??t?dt??f?t?dt??01f?t??f??t??f??t?dt????dt 0?

1????f??x??f?x???dx.故原不等式成立, 證畢

013.6 利用泰勒公式

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中泰勒公式有著重要的地位,它在不等式的證明、求極限以及求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值等方面有著重要的作用.關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用已經(jīng)有很多專家學(xué)者對其進(jìn)行了深入的研究,下面我們將舉例說明利用泰勒公式也是證明積分不等式的一種重要方法．

定理3.6(帶有拉格朗日型余項的taylor公式)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的某鄰域內(nèi)具有n?1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則對該鄰域內(nèi)異于x0的任意點(diǎn)x,在x0與x之間至少存在一點(diǎn)?,使得：

f??(x0)fn(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?rn(x)

(1)

2!n!f(n?1)(?)其中rn(x)?(x?x0)n?1（?在x與x0之間）稱為拉格朗日型余項,(1)式稱為泰勒公(n?1)!式．

例3.6.1[10] 設(shè)f?x?在?a,b?上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f?a??f?b??0,m?maxf???x?，x??a,b?試證明:?f?x?dxab?b?a??123m．

證明：對?x??a,b?,由泰勒公式得

f

f?a???f?x?????f?b???f?x?????f1?????x??a?x?21?????x??b?x?2fa?x??a,x?, , ??2fb?x??x,b?, , ??2a?b?1?22??, ????兩式相加得 f?x??f??x??x??f?a?x?f?b?x???????????2?4? 14 南通大學(xué)畢業(yè)論文

兩邊積分得 ?f?x?dx??abbaa?b?1b?22??dx, ?????f?x??x?dx?f?a?x?f?b?x????????????a2?4?bb?ba?b?a?b??其中 ?f??x??x?dx?x?dfx??f?x?dx, ???????aaa2?2???于是有 ?f?x?dx?故 ?ba1b?22?dx, ????f?a?x?f?b?x???????????aa8mb?22?dx?m?b?a?3． 證畢 f?x?dx?a?x?b?x?????8?a?12b例3.6.2[6] 設(shè)f?x?在?a,b?上有二階導(dǎo)數(shù),且f???x??0，?a?b?求證 ?f?x?dx??b?a?f??． a2??b證明：將f?x?在x0?a?b處作泰勒展開得到 22a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b????, f?x??f??fx??f?x?????????????x,?．

222222??????????

a?b??a?b??a?b???因為f???x??0,所以可以得到 f?x??f??fx??????，222??????ba?b??a?b??a?b?b??對不等式兩邊同時積分得到 ?f?x?dx?f?b?a?fx???????a??dx． a2??2??2??ba?b??因為??x??dx?0, 所以有?af?x?dx??b?a?a2??b?a?b?f??． 證畢

2??通過這兩道題目我們大致可以了解到當(dāng)題目中出現(xiàn)被積函數(shù)在積分區(qū)間上有意義且有二階及二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時,是提示我們用泰勒公式證明的最明顯的特征．一般情況下我們選定一個點(diǎn)xo,并寫出f?x?在這個點(diǎn)xo處的展開公式,然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s或與介值定理相結(jié)合來解決問題．

3.7 利用重積分

在一些積分不等式的證明中,由于被積函數(shù)的不確定,從而我們不能求出其具體的數(shù)值,這時我們可以將定積分轉(zhuǎn)換為二重積分再利用其性質(zhì)來求解．以下列舉了3種利用重積分來證明積分不等式的方法,這種技巧在高等數(shù)學(xué)中雖然不常見,但卻是很重要的,下面我們將通過3道例題來進(jìn)一步說明．

3.7.1 直接增元法

命題一[11]：若在區(qū)間[a,b]上f(x)?g(x),則?f(x)dx??g(x)dx．

aa

bb例3.7.1[11] 設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),且滿足：

?xaf(t)dt??g(t)dt,x?[a,b],?af(t)dt??ag(t)dt,證明：?axf(x)dx??axg(x)dx．

axbbbb證明：由題得?f(t)dt??g(t)dt, aaxx從而可以得到?dx?f(t)dt??dx?g(t)dt,即?dx?[f(t)?g(t)]dt?0．

aaaaaabxbxbx左式??dx?[f(t)?g(t)]dt ???[f(t)?g(t)]dxdt(其中d?{(x,t)|a?x?b,a?t?x})aadbx ??dt?[f(t)?g(t)]dx ??(b?t)[f(t)?g(t)]dt

atabbb ?b[?f(t)dt??g(t)dt]?[?tf(t)dt??tg(t)dt]??[?tf(t)dt??tg(t)dt]?0．

aaaaaabbbbaaaabbbbbb則 ?tf(t)dt??tg(t)dt?0 , 即?xf(x)dx??xg(x)dx． 證畢

在本題中我們將一元積分不等式?f(x)dx??g(x)dx的兩邊同時增加一個積分變量

aaxx?badx，使得一元積分不等式化為二元積分不等式，然后巧妙的運(yùn)用轉(zhuǎn)換積分變量順序的方法達(dá)到證明一元積分不等式的方法.3.7.2 轉(zhuǎn)換法

在利用重積分來證明積分不等式的時候，我們不但可以采用直接增元法，還可以采用轉(zhuǎn)換法.關(guān)于轉(zhuǎn)換法又分為將累次積分轉(zhuǎn)換為重積分，以及將常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分這兩種形式.下面我們將依次來介紹這兩種方法.1.將累次積分轉(zhuǎn)為重積分

命題二[11] 若f(x)在[a,b]上可積,g(y)在[c,d]上可積,則二元函數(shù)f(x)g(y)在平面區(qū)域d?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}上可積,且

??df(x)g(y)dxdy??f(x)dx?g(y)dy??f(x)dx?g(x)dx．

acacbdbd其中d?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}

例3.7.2[11] 設(shè)p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),在[a,b]上,p(x)?0,f(x),g(x)為單調(diào)遞增函數(shù),試證：

?babap(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx．

aaabbbaaabbb

證明：由?p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx可知：

?babap(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx??p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx?0，aaabbaabbb令i??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx??p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx, ab下證i?0；

i??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx??p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx

aaaabbbb

同理

??p(x)dx?p(y)f(y)g(y)dy??p(x)f(x)dx?p(y)g(y)dy

aaaabbbb????bab??babp(x)p(y)f(y)g(y)dxdy??ba?bap(x)f(x)p(y)g?y?dxdy

aap(x)p(y)g(y)[f(y)?f(x)]dxdy．

(3.7)bbbi??p(x)d?xaabab(p)x(f)x(g?)x?dxab(p)x?(f)xdx()pxgxdx

a

??p(y)d?ybbap()xf()xg(?)x?dxab(p)y?(f)ydy(p)xgxdxab ???p(y)p(x)g(x)[f(x)?f(y)]dxdy．

(3.8)aa

(3.7)?(3.8)得

2i??ba?bap(x)p(y)[g(y)?g(x)][f(y)?f(x)]dxdy, 因為f(x),g(x)同為單調(diào)增函數(shù),所以[g(y)?g(x)][f(y)?f(x)]?0 又因為p(x)?0,p(y)?0,故 2i??ba?bap(x)p(y)[g(y)?g(x)][f(y)?f(x)]dxdy?0,即i?0．

證畢

2.將常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分的形式

在例3.7.2中我們介紹了將累次積分轉(zhuǎn)換為重積分,在下面的例3.7.3中我們將對常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分來進(jìn)行說明．我們可以發(fā)現(xiàn)有這樣一個命題,若在二重積分中被積函數(shù)f(x,y)?k,則可得到??kd??k(b?a)2,其中d?{(x,y)|a?x?b,a?y?b}．

d例3.7.3函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f?x??0試證：?f(x)dx?

abba1dx?(b?a)2． f(x)本題與前面的例3.1以及例3.2.3是同一道題目,在這里我們將利用重積分證明此題． 證明：原題即為 ?f(x)dx?abba1dy???d?, f(y)d 17 南通大學(xué)畢業(yè)論文

移項可得??(df(x)?1)d??0, f(y)2??(df(x)f(x)f(y)?1)d????(?1)d????(?1)d??0, f(y)f(y)f(x)ddf(x)f(y)f(x)f(y)??2)d??0,因為f(x)?0,f(y)?0,所以??2?0． f(y)f(x)f(y)f(x)所以即為證??(d故 ??(dbbf(x)f(y)1??2)d??0 恒成立,即?f(x)dx?dx?(b?a)2成立, 證畢

aaf(x)f(y)f(x)通過以上三道例題我們可以大致了解到，在這一類定積分不等式的證明過程中我們一般先將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為二次積分的形式,進(jìn)一步再轉(zhuǎn)換為二重積分,最后利用二重積分的性質(zhì)或其計算方法得出結(jié)論.這種方法克服了數(shù)學(xué)解題過程中的高維數(shù)轉(zhuǎn)化為低維數(shù)的思維定勢,豐富了將二重積分與定積分之間互化的數(shù)學(xué)思想方法．

3.8 利用微分中值定理

微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的重要的一個基本定理,它是指羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理這四種定理.關(guān)于微分中值定理的應(yīng)用也是很廣泛的,證明不等式是微分中值定理最基本的應(yīng)用之一.在這里我們將對利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理證明積分不等式進(jìn)行研究.下面將通過兩個例子來具體說明這兩個定理在證明積分不等式中的應(yīng)用,以及不同的微分中值定理在證明不等式時的區(qū)別．

例3.8.1[12] 設(shè)f?a??0,f?x?在區(qū)間?a,b?上的導(dǎo)數(shù)連續(xù),證明：

2?b?a??a1bf?x?dx?1maxf??x?． x2??a,b?證明：應(yīng)用lagrange中值定理,????a,x?,其中a?x?b,使得

f?x??f?a??f?????x?a?, 因為f?a??0, 所以f?x??mx?a, m?maxf??x?，x??a,b?從a到b積分得

?a ?bf?x?dx?m?bam2bx?adx?m??x?a?dx??x?2?

aa2bm1122b?a?maxf??x??b?a?．即??222?b?a??baf?x?dx?1maxf??x?.證畢 x2??a,b? 18 南通大學(xué)畢業(yè)論文

例3.8.2[13] 設(shè)函數(shù)f?x?在?0,1?上可微,且當(dāng)x??0,1?時,0?f??x??1,f?0??0試證：

??f?x?dx???f121003?x?dx．

證明：令f?x????x0f?t?dt,g?x???f3?t?dt，0?2xf?x?,g?x?在?0,1?上滿足柯西中值定理,則

??f?x?dx?102??10f03?x?dx?f?1??f?0?f???????g?1??g?0?g???02f????f?t?dt0?f3????2?f?t?dt0?f2??? ?0???1?

2?f?t?dt??f?t?dtf2????f02??0??2f???1??1 , ?0?????1?．

2f???f????f????所以 ??10f?x?dx?2??f2?x?dx．

證畢

01通過以上兩道題目可以發(fā)現(xiàn)：

1.在應(yīng)用lagrange中值定理時先要找出符合條件的函數(shù)f?x?,并確定f?x?在使用該定理的區(qū)間?a,b?,對f?x?在區(qū)間?a,b?上使用該定理．若遇到不能用該定理直接證明的,則從結(jié)論出發(fā),觀察并分析其特征,構(gòu)造符合條件的輔助函數(shù)之后再應(yīng)用lagrange中值定理．

2.在研究兩個函數(shù)的變量關(guān)系時可以應(yīng)用cauchy中值定理,在應(yīng)用該定理證明不等式時關(guān)鍵是要對結(jié)果進(jìn)行分析,找出滿足cauchy中值定理的兩個函數(shù)f?x?,g?x?,并確定它們應(yīng)用柯西中值定理的區(qū)間?a,b?,然后在對f?x?,g?x?在區(qū)間?a,b?上運(yùn)用cauchy中值定理．

無論是cauchy中值定理還是lagrange中值定理在積分不等式的證明中都各具特色,都為解題提供了有力的工具.總之在證明不等式時需要對結(jié)論認(rèn)真的觀察有時還需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?才能構(gòu)造能夠應(yīng)用中值定理證明的輔助函數(shù),進(jìn)而利用微分中值定理證明不等式．

4．總

結(jié)

我們通過查閱有關(guān)積分不等式的文獻(xiàn)和資料,并對其中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對比和分析后,將有關(guān)的內(nèi)容加以整理并擴(kuò)充形成了本文.在論文中給出了兩個重要的積分不等式的證明以及總結(jié)了八種積分不等式的證明方法.然而由于自己的參考資料面不夠廣,參考的大多數(shù)文獻(xiàn)都是僅給出了例題及其證明方法,而并沒有給出進(jìn)一步的分析,同時自己的知識面較窄,能力有限,導(dǎo)致還有很多難度較大的問題尚未解決．例如,在實(shí)際的問題中,還有一些證明方法是我們所不知道的,并且還有一些不等式并不能用本文所給出的八種方法來證明,這就需要我們進(jìn)一步的思考與研究.今后我們應(yīng)該更多的參考其他資料,充分拓展思路,以便于提出新的觀點(diǎn)．

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積分不等式的證明論文篇二

閔可夫斯基不等式

在數(shù)學(xué)中，閔可夫斯基不等式（minkowski不等式）表明lp空間是一個賦范向量空間

。設(shè)是一個 度量空間，那么

如果，等號成立

當(dāng)且僅當(dāng)，或者，我們有：

閔可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫爾德不等式來證明。和赫爾德不等式一樣，閔可夫斯基不等式取可數(shù)測度可以寫成序列或向量的特殊形式：

對所有

實(shí)數(shù)，這里

是的維數(shù)；改成復(fù)數(shù)同樣成立，沒有任何難處。

值得指出的是，如果以變?yōu)椤?/p>

積分形式的證明，則可

我們考慮的次冪：

（用三角形不等式展開）

用 赫爾德不等式（見下文）繼續(xù)運(yùn)算可得

（利用，因為）

現(xiàn)在我們考慮這個不等式序列的首尾兩項，除以最后那個表達(dá)式的后面那個因子，我們得到

:

因為，我們最終得出：

這就是我們所要的結(jié)論。

對于序列的情況，證明是完全類似的。

赫爾德（holder）不等式

設(shè)ai,bi?1?i?n?是2n個正實(shí)數(shù)，??0,??0,????1,n

a?則

i?1

?

i

bi

?

????

???ai???bi??i?1??i?1?

n

n

i

n

?

n

?

.[證明] 令a??a

i?1,b?

?b

i?1

i

那么

?

n

a

??

b

??

?a

i?1

?

i

bi

?

?ai??bi???????

i?1?a??b?

n

?

?lg

aia

??lg

bib

?lg

?

ai??lg

bi

?lg

?

ai??

bi???

?

???

?

?ai??bi?????

利用jensen不等式有a???b?

n

??

aia

??

bi

b成立

?

i?1

?ai??bi?

?????a??b?

n

??

?

?

n

i

a?a

i?1

?

?

n

i

b?b

i?1

?????1

?

即

?a

i?1

?

i

bi

?

?ab

??

???????ai???bi?,得證。

?i?1??i?1?

n

?

n

易知積分形式也成立

積分不等式的證明論文篇三

探討定積分不等式的證明方法

摘要：文章針對被積函數(shù)的特性，給出了幾種關(guān)于定積分不等式的有效證明方法。

關(guān)鍵詞：定積分

不等式

證法

不等式的證明在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中很常見，但關(guān)于定積分不等式的證明卻一直是一個難點(diǎn)。要證明定積分不等式，首先要看被積函數(shù)，其性質(zhì)確定證明方法。本文根據(jù)被積函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、可導(dǎo)性等分別給出幾種證法。

1．運(yùn)用定積分中值定理證明

定積分中值定理是將定積分轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值與該區(qū)間長度的乘積，即將定積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)來證明不等式。

例1：設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)且單調(diào)不增，證明?a∈[0,1]有

?a0f(x)dx≥a?f(x)dx．

01證明：由原不等式變形得即是要證：(1?a)?a0f(x)dx≥a（?f(x)dx??f(x)dx)，0010a1?a0f(x)dx≥a?f(x)dx, 對左式，f(x)在[0,1]上連續(xù)，故a由定積分中值定理知：

??1??0，a?使

（1?a)?f(x)dx?a(1?a)f(?1), 0同理對右式：??2??a，1?使a?0f(x)dx?a(1?a)f(?2)，1顯然，?1＜?2又f(x)在[0,1]上單調(diào)不增，∴f(?1)≥f(?2)故原不等式?a0f(x)dx≥a?f(x)dx成立.01定積分中值定理的運(yùn)用直觀易懂，它的條件也極其簡單，易于掌握。2．運(yùn)用輔助函數(shù)證明

構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)證明不等式，首先是做函數(shù)將要證結(jié)論中的積分上限（下限）換成x，移項使不等式的一邊為零，另一邊的表達(dá)式即是輔助函數(shù)。然后再求f’(x)，并運(yùn)用單調(diào)性及區(qū)間端點(diǎn)值特性證明不等式。

例2：設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù),且f(x)>0.試證：?baf(x)dx?ba1dx?(b?a)2 f(x)xxaa證明：構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)??f(t)dt?則f(x)?f(x)?a

='x1dt?(x?a)2（將b換成x），f(t)11xdt?f(t)dt?2(x?a)?af(t)f(x)?xaxf(t)xf(x)dt??dt??2dt

aaf(t)f(x)f(x)f(t)??2)dt

=?a(f(t)f(x)xf(x)f(t)??2?0，∵f(x)＞0，∴

f(t)f(x)'又a

?0，∴f(b)?f(a)?0，?baf(x)dx?ba1dx?(b?a)2． f(x)該題構(gòu)造出積分上限函數(shù)，其目的是用單調(diào)性來證明不等式。這種方法開門見山、直截了當(dāng)。3．運(yùn)用定積分的性質(zhì)和幾何意義證明

與定積分的概念相聯(lián)系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上積分的幾何直觀使得不等式的證明變得更加簡捷。

例３：證明不等式?13sinx?dx?．

ex(1?x2)12esinx1?，兩端積分得：

ex(1?x2)e(1?x2)證明：因為1?x?3時

?31sinx131?dx???x221e(1?x)e1?x12e

a?1例４：設(shè)a,b?1時，證明不等式ab?e證明：blnb??lnxdx?b?1，e1ba?1?blnb．

a?10??exdx?1，根據(jù)定積分的幾何意義知：

（a?1)b??lnxdx??1ba?10exdx?blnb?ea?1?b，a?1ab?e?blnb.即本題關(guān)鍵在于深刻領(lǐng)悟定積分概念的由來，即求曲邊梯形的面積問題推導(dǎo)的四個步驟：分割、取點(diǎn)、作和與求極限，這里充分運(yùn)用了“近似代替”的幾何直觀來加以證明。

4．運(yùn)用拉格朗日中值定理證明

利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先要構(gòu)造滿足中值定理條件的函數(shù)和區(qū)間，然后進(jìn)行不等式放縮，再用定積分比較定理、估值定理或函數(shù)的絕對值不等式等。

?m，f(a)?0，例5：設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x）試證：?abf(x)dx?m(b?a)2.2證明：由題設(shè)?x?[a,b]，f(x)在[a，b]上都滿足拉氏中值定理的條件，于是有：

f(x)?f(x)?f(a)?f'(?)(x?a)，??(a,x)，?m，∵f'(x）∴f(x)?m(x?a)兩邊在[a，b]上定積分得：

?bamf(x)dx??m(b?a)dx?(b?a)2.a2b此題運(yùn)用拉格朗日中值定理簡直如行云流水，如果采用其他辦法顯然比較繁瑣。

5．運(yùn)用taylor公式證明

當(dāng)已知被積函數(shù)f(x)二階或二階以上可導(dǎo)且又知最高階導(dǎo)數(shù)的符號時，通常采用泰勒展開式來證明。首先要寫出f(x)的泰勒展開式，然后根據(jù)題意寫出某些點(diǎn)的泰勒展開式，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s以變成不等式，最后用定積分的性質(zhì)進(jìn)行處理。

例6：設(shè)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加，且f“(x)＞0，證明

(b?a)f(a)＜?abf(a)?f(b)f(x)dx＜(b?a)

2證明：先證左不等號：(b?a)f(a)＜

?baf(x)dx，?x?[a,b]，x＞a，f(x)單調(diào)增加，所以f(x)＞f(a)

故?baf(x)dx＞(b?a)f(a)?（1）再證右不等號：?baf(x)dx＜(b?a)f(a)?f(b)，2?t?[a,b]，f(t)在點(diǎn)x處的taylor展式為：

f(t)?f(x)?f'(x)(t?x)?因

1f”(?)(t?x)2,其中?在t與x之間，2!f"(?)＞0，f(t)＞f(x)?f'(x)(t?x)，所以將t?b,t?a分別代入上式并相加得：

f(a)?f(b)＞2f(x)?(a?b)f'(x)?2xf(x)，將此式在[a,b]上積分得：

?f(a)?f(b)?(b?a)＞2?af(x)dx?(a?b)?af'(x)dx?2?axf(x)dx，有2[f(a)?f(b)](b?a)＞4故

bbb?baf(x)dx，?baf(a)?f(b)f(x)dx＜(b?a)?（2）

2綜合（1）、（2），公式的應(yīng)用在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一個絕對的難點(diǎn)，往往很難掌握。一個題目在你用其他方式很難解決時，taylor公式常會給你意想不到的突破。

6．運(yùn)用柯西—斯瓦茲不等式證明 柯西—斯瓦茲不等式：

例7：設(shè)f(x)在[0,1]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(1)?f(0)?1，試證：0[f'(x)]dx?1.證明：∵f(1)?f(0)??12?10f'(x)dx，又f(1)?f(0)?1，所以?0f'(x)dx?1，因f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，所以f(x)在[0,1]上連續(xù)，2dx[f'(x)]dx?(f'(x)dx)?1，由柯西—斯瓦茲不等式得：?0?0?011211即是0[f'(x)]dx?1.柯西—斯瓦茲不等式是大學(xué)數(shù)學(xué)中的又一難點(diǎn)，雖然記憶起來并不困難，但應(yīng)用是靈活多變的。

7．運(yùn)用重積分證明

重積分要化為定積分來計算，這是眾所周知的事實(shí)，但反之定積分的乘積往往又可以化為重積分，將定積分不等式的證明化為重積分不等式來證明，也是一種常見的方法。

例8：設(shè)f(x)是在[0，1]上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，?12?試證：?xf0101xf(x)dx23?(x)dx13??101f3(x)dxf(x)dx122.1102i?xf(x)dxf(x)dx?f(x)dxxf證明：設(shè)????(x)dx

00003232xf(x)f(y)dxdy?f(x)f(y)ydxdy

=????dd3

=??ddf3(x)f2(y)(x?y)dxdy?（1）

23i?f(x)f(y)(y?x)dxdy?（2）同樣

??232i?(x?y)f(x)f(y)(f(x)?f(y))dxdy，（1）+（2）可得??d由于f(x)在[0，1]上單調(diào)增加，故(x?∴i1y)(f(x)?f(y))?0，13100?0，從而?0xfxf(x)dx2313(x)dx?f(x)dx??f(x)dx?xf2(x)dx

012?即?xf010?(x)dx??101f3(x)dxf(x)dx2

0總的來說，證明不等式是一門藝術(shù)，它具有自己獨(dú)到的技術(shù)手法。在此，我研究了上述7種方法來證明不等式，使一些復(fù)雜不等式的證明變得更加簡潔，也會使一些不等式的證明變得一題多解。

積分不等式的證明論文篇四

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

常澤武指導(dǎo)教師：任天勝

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識不等式，以導(dǎo)數(shù)為工具來證明不等式。

關(guān)鍵字： 導(dǎo)數(shù) 不等式最值中值定理單調(diào)性泰勒公式

中圖分類號： o13

application derivative to testify inequality

changzewu teachers: rentiansheng

(hexi institute of mathematics and statistics gansu zhang ye 734000)abstract: he inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to words: the most value of derivative inequality value theorem monotonicity taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為：

定理1.如果函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。

（2）我們可根據(jù)其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數(shù)和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應(yīng)用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當(dāng)h>0時有

1??h?1?1?h,當(dāng)?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

我們在初等數(shù)學(xué)當(dāng)中學(xué)習(xí)不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負(fù)，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思想來判斷大小。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導(dǎo)，那么

（1）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞增。

（2）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令f(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上f'(x)>0（f'(x)<0）且f(a)=0或（f(b)=0）例2.1 設(shè)x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令f(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然f(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）f'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現(xiàn)在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當(dāng)x?0時f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以f'(x)?0故f(x)遞增

又因為f(0)?0

所以f(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式

當(dāng)?shù)仁街泻小?”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價于函數(shù)g(x)?g(x)?f(x)有最小值或f(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，沒有不可導(dǎo)點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(diǎn)(x?0和x?1)的函數(shù)值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式

若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導(dǎo)數(shù)，又在x0處有n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止?/p>

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?rn(x)1!2!n!

在上述公式中若rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)。或f(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實(shí)質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計算中有廣泛的應(yīng)用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數(shù)f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導(dǎo)函數(shù)f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當(dāng)f''(?)?f''(?)時，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻(xiàn)

《數(shù)學(xué)分析》上冊，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，?2?趙煥光，林長勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊，四川大學(xué)出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學(xué)分析》上冊，復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.?4?華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.

積分不等式的證明論文篇五

衡陽師范學(xué)院

畢業(yè)論文（設(shè)計）

題 目：積分不等式的證明及應(yīng)用

所 在 系： 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系

專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

學(xué) 號： 08090233 作者姓名： 盛軍宇 指導(dǎo)教師： 肖娟

2012年 4 月 27 日

積分不等式的證明及應(yīng)用

數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 學(xué)號:08090233 姓名:盛軍宇 指導(dǎo)老師:肖娟

摘要

本文主要研究了如何利用積分中值定理、輔助函數(shù)、以及一些特殊積分不等式等方法證明積分不等式,并通過若干實(shí)例總結(jié)有關(guān)積分不等式的證明方法及規(guī)律,討論了一些特殊積分不等式的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 積分不等式；中值定理；函數(shù)

0.引言

積分不等式是微積分學(xué)中的一類重要不等式,在數(shù)學(xué)分析中有著廣泛的應(yīng)用,且在考研試卷中會經(jīng)常出現(xiàn).對積分不等式證明方法的介紹,不僅解決了一些積分不等式的證明,而且可以把初等數(shù)學(xué)的知識與高等數(shù)學(xué)的知識結(jié)合起來,拓寬我們的視野,提高我們的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力.目前國內(nèi)外對該課題的研究比較普遍,主要研究了如何利用微積分相關(guān)知識來解決一些比較復(fù)雜的積分不等式的證明.積分不等式的常用證法有: 定積分的定義、定積分的性質(zhì)、泰勒公式、分部積分法、線性變換等.本文主要從以下幾個方面討論和歸納了一系列積分不等式的證明方法:利用積分中值定理來證積分不等式、利用schwarz不等式來證積分不等式、利用微分中值定理來證積分不等式、利用積分中值定理來證積分不等式、利用二重積分來證積分不等式等.1.積分不等式的證明方法

1.1 利用積分第一中值定理證明積分不等式

積分第一中值定理(定理1)若f?x?在?a,b?上連續(xù), 則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得?f?x?dx?f????b?a?.ab積分第一中值定理在證明積分不等式中有著舉足輕重的作用.例1 設(shè)f?x?在?0,1?上可微,而且對于任意x??0,1?,有|f??x?|?m, 求證:對任意正整數(shù)n有

?10f?x?dx?1n?n1ni?1m?i?f???n?n?n,其中m是一個與x無關(guān)的常數(shù).分析 由于目標(biāo)式中一個式子為

?i?11?i?f??,另一個式子為?f?x?dx0?n?,故把?f?x?dx按

01區(qū)間可加性寫成一些定積分的和,并應(yīng)用積分第一中值定理加以證明.證 由定積分的性質(zhì)及積分中值定理,有

?10f?x?dx?nini?1n??i?1f?x?dx?n?i?1f??i?1,?,i?1,2,??,n.,?i??n?n?n?i?1i?又因為f?x?在?0,1?上可微,所以由微分中值定理可知,存在?i????i,?,使得, n???i??i?f???f??i??f??i????i?,i?1,2,??,n.?n??n??i?

因此?10f?x?dx?1n?ni?11?i?f???n?n?n?i?1f??i??1n?ni?1?i?f???n?

?1n1n1n1nn?i?1n??i????f?f???i????n???i?f???f??i??n??i?f???i????i??n?m1n?mn?

???i?1n.?i?1n?i?1在抽象函數(shù)f?x?的積分不等式中,若出現(xiàn)和號?、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等,一般可以利用定積分的定義或區(qū)間可加性,將區(qū)間?a,b?n等分,點(diǎn)?i也可采用特殊的取法.1.2 利用拉格朗日中值定理證明積分不等式

拉格朗日中值定理(定理2)若函數(shù)f滿足如下條件:

?i?f在?a,b?上連續(xù)；?ii?f在?a,b?內(nèi)可導(dǎo), 則在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?,使得

f?????f?b??f?a?b?a.利用拉格朗日中值定理的關(guān)鍵是根據(jù)題意選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f(x)和區(qū)間?a,b?,使它們滿足拉格朗日定理條件,然后運(yùn)用拉格朗日公式或等價形式來運(yùn)算得出所要的結(jié)論.例2 設(shè)f??x?在?a,b?上連續(xù).證明:若f?a??f?b??0,則

?f?x?dxab??b?a?24m,m?maxf??x?.x??a,b?分析 由條件f?a??f?b??0,及f??x?與f?x?,故想到利用拉格朗日中值定理.證 由拉格朗日中值定理得: 對任意的x??a,??a?b?, ?2?f?x??f?x??f?a??f??1??x?a?,a??1?x.,b?, 對任意的x??2???a?b?f?x??f?x??f?b??f??2??x?b?,x??2?b.?a?b??a?b??????f?x??m?x?a?,x??a，fx?mb?x,x?,b???22????，故

?f?x?dxaba?b????2af?x?dx???ba?b2f?x?dx

a?b?2af?x?dx?ba?b2f?x?dx

a?b?2am?x?a?dx??ba?b2m?b?x?dx??b?a?24m.注意到m是f??x?在?a,b?上的最大值,所以解題的關(guān)鍵是如何使f?x?與f??x?聯(lián)系起來,因而不難想到拉格朗日中值定理來證明.1.3 構(gòu)造變上限函數(shù)證明積分不等式

作輔助函數(shù),將結(jié)論的積分上限或下限換成x,式中相同的字母也換成x,移項,使

得不等式的一端為零,則另一端為所作的輔助函數(shù),這種方法在證明一些特定類型積分不等式時有重要作用.1例3 設(shè)函數(shù)f?x?在?0,1?上連續(xù),證明不等式??f?x?dx?????0?2?10f2?x?dx.x?分析 此例若令f?x???f?t?dt?????0?2?x0f2?t?dt,則f??x?的正負(fù)不易判斷,需進(jìn)一步的改進(jìn).證 由待證的積分不等式構(gòu)造變上限定積分的輔助函數(shù),令

xxf?x????f?t?dt??x?f??0?0?22?t?dt顯然,f?0??0,且f?x?可導(dǎo),有

f2f??x??2f?x?x?f?t?dt??02xx0?t?dt?xf2?t?

????f?x??f?t??dt?0，0則f?x?在x?0時單調(diào)減小,即有f?x??f?0??0,x?0，1特別地,f?1??0,即證得不等式??f?x?dx?????0?2?10f2?x?dx.例4 設(shè)函數(shù)f?x?在?0,1?上可微,且當(dāng)x??0,1?時,0?f??x??1,f?0??0, 1試證 ??f?x?dx?????0?2?10f3?x?dx.2131?證 問題在于證明?f?x?dx?????0??0f?x?dx?0, x令f?x????f?t?dt?????0?2?x0fx3?t?dt,因為f?0??0, f??x??2f?x??f?t?dt0?f3?x??f?x?2??x0f?t?dt?f2?x?，x0?已知f?0??0,0?f??x??1,故當(dāng)x??0,1?時,f?x??0, 記g?x??2?f?t?dt?f2?x?, 則g?0??0,g??x??2f?x??2f?x?f??x?=2f?x??1?f??x???0,x??0,1?, 于是g?x??2?f?t?dt?f2?x??g?0??0,x??0,1?,故f??x??0,x??0,1?, 0x4

1?所以f?1??f?0??0,即?f?x?dx?????0?2?10f3?x?dx.通過上述兩例,我們知道了構(gòu)造變上限函數(shù)證明積分不等式,遇到特殊情況,不能按常規(guī)直接作輔助函數(shù)需要稍微變化一下,有時甚至要在一個題中構(gòu)造兩個輔助函數(shù),以便判斷所作函數(shù)的單調(diào)性.1.4 利用二重積分證明積分不等式

在積分不等式的證明中利用定積分與積分變量形式無關(guān)的這一性質(zhì),將定積分的平方項或者定積分之間的乘積轉(zhuǎn)化為積分變量形式不同的定積分之積,把定積分化為二重積分,可以達(dá)到有效的作用.例5 若函數(shù)f?x?,p?x?,g?x?在?a,b?上連續(xù),p?x?是正值函數(shù),f?x?,g?x?是單調(diào)增加函數(shù),則?p?x?f?x?dx?p?x?g?x?dx?aabb?p?x?dx?p?x?f?x?g?x?dx.該不等式稱為切貝謝

aabb夫不等式.分析 只要證???bap?x?dx?p?x?f?x?g?x?dx?abb?bap?x?f?x?dx?p?x?g?x?dx?0

abb即可,而上述式子又可視為累次積分,從而化為二重積分.證 因定積分的值與積分變量無關(guān),故?p?x?dx??p?y?dy，aa?p?x?g?x?dx??p?y?g?y??????bap?y?dy?p?x?f?x?g?x?dx?ab?bap?x?f?x?dx?p?y?g?y?dy

ab???p?y?p?x?f?x?g?x??p?x?p?y?f?x?g?y??dxdyd

??p?x?p?y?f?x??g?x??g?y??dxdyd ?1?

其中,積分區(qū)域d?a?x?b;a?y?b?.因為定積分與積分變量的形式無關(guān), 所以交換x與y的位置,得到

????p?y?p?x?f?y??g?y??g?x??dxdyd ?2?

將?1?式與?2?式相加,得??12??p?x?p?y??f?x??f?y???g?x??g?y??dxdy,由已知，d可知p?x?是正值函數(shù),f?x?,g?x?是單調(diào)增加函數(shù),從而?f?x??f?y??與?g?x??g?y??同號，于是在d上p?x?p?y??f?x??f?y???g?x??g?y???0,從而,??0.即?p?x?f?x?dx?p?x?g?x?dx?aabb?p?x?dx?p?x?f?x?g?x?101bb例6 若函數(shù)f?x?在?0,1??上不恒為零且連續(xù)增加,則

?ff3?x?dx?x?dx???101xfxf3?x?dx?x?dx.2200證 由于在?0,1?上,結(jié)論式中的分母均為正值,所以結(jié)論等價于

???10f2?x?dx??10xff23?x?dx10?xf?10f3?x?dx?10xf2?x?dx?0, 而 ?? ? ??10fff2?x?dx?210xf3?x?dx??130?x?dx?2?x?dx

??d?x?yf3?y?dxdy??df?x?xf3?y?dxdy

??d2?x?f3?y??y?x?dxdy ?3?

其中,積分區(qū)域d?0?x?1;0?y?1?因定積分的值與積分變量的形式無關(guān),故又有

????df2?y?f3?x??x?y?dxdy ?4?

22將?3?式與?4?式相加,得??1???x?y?f?y?f?x??f?x??f?y??dxdy, 2d由已知,函數(shù)f?x?在?0,1?上連續(xù)增加,從而對任意的x,y??0,1?,有

?x?y?f?y?f?x??f?x??f?y???0,故22??101ff3?x?dx?x?dx???101xfxf3?x?dx?x?dx.2200從以上的積分不等式證明中,可知把定積分化為重積分能巧妙地解決一些積分不等式的證明問題.1.5 借助于判別式來證明積分不等式

引入適當(dāng)?shù)膮?shù),構(gòu)造合適的函數(shù),討論參數(shù)的判別式,以便證明所求證的積分不等式.例7 設(shè)f?x??0,且在?a,b?上連續(xù),試證?f?x?dx?abbdxf?x?a??b?a?.2分析 可構(gòu)造多項式,利用多項式的性質(zhì)來證明積分不等式.證 由題設(shè)對任意的?,考察函數(shù)f?x????,因為?f?x???f?x??????0,有 f?x???2?ba2bdxb???2??,即fx?2??dx?0??2?dx?????aaf?x??f?x???f?x?dxab?0, 不等式的左端可以看成?的二次三項式,且對任意的?上述不等式均成立, 故判別式???2?abdx??4?a2bdxf?x??baf?x?dx?0,即?f?x?dx?abbdxf?x?a??b?a?.2用判別式解題的關(guān)鍵是要有一個函數(shù)值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程g?x?,而g2?x??0,于是我們構(gòu)造?g2?x?dx?0這樣一個方程,ab再結(jié)合這種情況下的判別式也是一個不等式,便可證明此題.1.6 利用對稱性證明積分不等式

命題1 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于直線y?x對稱時,被積函數(shù)的兩個變量交換位置后,二重積分的值不變.這一條規(guī)律有助于解決一些特定類型的積分不等式的證明.例8 函數(shù)f?x?在?a,b?上取正值且f?x?在?a,b?上連續(xù)試證:

??f?y?hf?x?dxdy??b?a?,h??a,b;a,b?.2證 因為h??a,b;a,b?關(guān)于直線y?x對稱,從而i?f?x???f?y?hf?x?dxdy???f?x?dxdyhf?y?, 所以i???f?y?hdxdy?12??h?f?x?f?y?????dxdy?f?x???f?y???1dxdy??b?a?h2.由上例可知,在積分不等式的證明過程中,我們可以應(yīng)用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用積分第二中值定理的推論證明積分不等式

積分第二中值定理的推論:設(shè)函數(shù)f在?a,b?上可積.若g為單調(diào)函數(shù),則存在???a,b?,使得?f?x?g?x?dx?g?a??f?x?dx?g?b??f?x?b?b??b?b例9 設(shè)函數(shù)f?x?在?a,b?上單調(diào)遞增連續(xù),則?xf?x?dx?????f?x?dx.a?2?a證 假設(shè)函數(shù)g?x??x?a?b2,顯然g?x?在?a,b?上可積,又函數(shù)f?x?在?a,b?上遞增連續(xù),根據(jù)積分第二中值定理的推論知存在???a,b?,使得

?f?x?g?x?dxabab?f?a??g?x?dx?f?b??g?x?dx ???

a?b?且???式又可變?yōu)?f?x?g?x?dx??f?a????g?x??dx?f?b??g?x?dx.由定積分的幾何意義

a?b?知?g?x?dx??b???g?x??dx,?aba???a,b?,同時,f?a??f?b?,于是，b?f?x?g?x?dx??f?b??f?a????g?x?dx即??x?a?b?0, ?ba?b??a?b?b,故????fxdx?0xfxdx?????f?x?dx?a2??2?a.2.一些特殊積分不等式的應(yīng)用

2.1 chebyshew不等式及其應(yīng)用

chebyshew不等式 設(shè)f?x?,g?x?同為單調(diào)遞減或當(dāng)調(diào)遞增函數(shù),則有

?baf?x?dx??g?x?dx??b?a??f?x?g?x?bb若f?x?,g?x?中一個是增函數(shù),另一個為減函數(shù),則不等式變?yōu)?/p>

?chebyshewbaf?x?dx??g?x?dx??b?a??f?x?g?x?bb不等式有廣泛應(yīng)用,特別在證明一類積分不等式中發(fā)揮重要作用.例10 設(shè)g?x?是??1,1?上的下凸函數(shù),f?x?為??1,1?上的偶函數(shù)且在?0,1?上遞增,則, ??1f?x?dx??1g?x?dx11?2?f?x?g?x?dx.?11分析 從所證的不等式看,它有點(diǎn)類似于chebyshew不等式,如果能夠構(gòu)造出一個單調(diào)函數(shù)滿足chebyshew不等式的條件,問題就容易解決了,為此構(gòu)造輔助函數(shù),令??x??g?x??g??x?.證 令??x??g?x??g??x?,顯然??x?也為??1,1?上的偶函數(shù),由于g?x?是??1,1?上的下凸函數(shù),故當(dāng)0?x1?x2?1,g??x1??g??x2??x1???x2??g?x1??g?x2?x1?x2, 即g??x1??g??x2??g?x2??g?x1?,即??x1????x2?,所以f?x?,??x?在?0,1?上為增函數(shù), 由chebyshew不等式知, 1?10f?x?dx???x?dx?011?10?1?f?x???x?dx????2?12?1?1f?x?dx???x?dx??1112?1?1f?x???x?dx, 可得?f?x?dx?g?x?dx?2?f?x?g?x?dx.?1?1?12.2 利用schwarz不等式證明積分不等式

schwarz不等式 若f?x?,g?x?在?a,b?上可積,則

??schwarzbaf?x?g?x?dx?2??baf2?x?g2?x?dx.不等式是一個形式簡單,使用方便的積分不等式,在證明某些含有乘積及

b平方項的積分不等式時頗為有效.例11 已知f?x??0,在?a,b?上連續(xù),?f?x?dx?1, k為任意實(shí)數(shù),求證:

a ??abf?x?coskxdx????abf?x?sinkxdx??1 ?5?

22證 ?5?式左端第一項應(yīng)用schwarz不等式得

??baf?x?coskxdx?2??a?bf?x??f?x?coskxdxb2?? ?同理??af?x?sinkxdx??b2?f?x?dx??f?x?cosaabkxdx??f?x?cosab2kxdx?6?

?baf?x?sin2kxdx ?7?

?6???7?即得?5?式.此題證明的關(guān)鍵在將f?x?寫成2.3 jensen不等式

f?x??f?x?的形式,以便應(yīng)用schwarz不等式.定理3 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù),且m?f?x??m,又??t?是?m,m?上的連續(xù)凸函數(shù)（指下凸函數(shù)）,則有積分不等式

?????b?a1ba1?f?x?dx???b?a???f?x??dx ?8?

ab注 若??t?是?m,m?上的連續(xù)凹函數(shù),則?8?式中的不等式號反向.定理4 設(shè)f?x?,p?x?在?a,b?上連續(xù),且m?f?x??m,p?x??0?a?x?b?,??t?是

???m,m?上的連續(xù)凸函數(shù),則有?????bap?x?f?x?dx????b?ap?x?dx???p?x???f?x??dx ?9?

?p?x?dxabab注 當(dāng)??t?是?m,m?上的連續(xù)凹函數(shù)時,?9?式中的不等號反向.例12 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù),且f?x??0,則對任意的自然數(shù)n,有

?1nln??b?a?ba1?f?x?dx???b?a1t2?banlnf?x?dx.證 令??t??nlnt,那么???t??n,????t???nt1?0,故??t?為凹函數(shù), 顯然f?x?在??t?的定義域內(nèi)有意義,故由定理3知,結(jié)論成立.例13 設(shè)f?x?,p?x?是?a,b?上的正值連續(xù)函數(shù),則對任意的自然數(shù)n,有

?banp?x?lnf?x?dx?p?x?dxab???nln????bap?x?f?x?dx???b?ap?x?dx??.證 令??t??nlnt由上例知??t?為凹函數(shù),故由定理4知結(jié)論成立.2.4 young不等式的應(yīng)用

young不等式 設(shè)f?x?是單調(diào)遞增的,連續(xù)于?0,a?上,f?0??0,a,b?0,f?1?x?表示f?x?的反函數(shù),則ab?young?a0f?x?dx??b0f?1?y?dy,其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)f?a??b.不等式是一個非常重要的不等式,靈活巧妙地應(yīng)用它,可以使一些較為困難的問題迎刃而解.例14 證明:a,b?1時,不等式ab?ea?1?blnb成立.證 設(shè)f?x??ex?1,則f?x?單調(diào)并連續(xù),f等式有，a?1b?1?1?y??ln?1?y?,因為a,b?1,由young不?a?1??b?1???0故ab?ea?1?blnb.2.5 steffensen不等式

steffensenf?x?dx??0f?1?y?dy?ea?1?blnb?a?b?1, 不等式 設(shè)在區(qū)間?a,b?上,g1?x? ,g2?x?連續(xù),f?x?一階可導(dǎo),任給

xax??a,b?,成立不等式?g1?t?dt??xag2?t?dt,且?g1?x?dx?ab?bag2?x?dx.若f?x?在?a,b?上單調(diào)遞減,則?f?x?g1?x?dx?ab?f?x?g?x?dx;若f?x?在上單調(diào)遞增上述不等式變號.a2b?例15 證明?20sinx1?x2?dx??20cosx1?x2dx.證 對任意的????x??0,??2??2,因為?cosx?1?sinx,所以有?sintdt?0x?x0costdt;此外,顯然有?2sinxdx?0?0cosxdx?1且函數(shù)

在?0,?上單調(diào)遞減,從而根據(jù)steffensen不21?x?2?1????等式,知?20sinx1?x2?dx??20cosx1?x2dx.結(jié)論

總之,以上討論的積分不等式的主要證明方法都離不開積分的性質(zhì),主要是通過函數(shù)的可微性和函數(shù)的可積性,利用二重積分、拉格朗日中值定理和積分中值定理來證積分不等式；以及巧妙的利用schwarz不等式和jensen不等式等,在實(shí)際應(yīng)用中需要結(jié)合各方面靈活使用題中條件或不等式,才會使問題得以正確解決.參考文獻(xiàn)

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mathematics and application mathematics specialty number:08090233

name:shengjunyu

instructor:xiaojuan

abstract: this paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral word: integral inequality;theorem of mean;function