一鍵復制
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湖南師大附中高二數(shù)學試題答案篇一
必考ⅱ部分(50分)
一、填空題
1．10【解析】設(shè)p(xp，yp)，∵|pm|＝|pf|＝y(tǒng)p＋1＝5，yp＝4，
則|xp|＝4，s△mpf＝2(1)|mp||xp|＝10.
二、選擇題
2．b【解析】由選擇支分析可考查函數(shù)y＝x(f（x）)的單調(diào)性，而f(x)0且f(x)0，則當x0時x(f（x）)＝x2(xf（x）－f（x）)0，
即函數(shù)x(f（x）)在(－，0)上單調(diào)遞減，故選b.
三、解答題
3．【解析】(1)f(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分)
列表如下：
x < | (－，－1) < | －1 < | (－1，1) < | 1 < | (1，＋) < |
f(x) < | － < | 0 < | ＋ < | 0 < | － < |
f(x) < | 遞減 < | 極小值 < | 遞增 < | 極大值 < | 遞減 < |
所以：f(x)的遞減區(qū)間有：(－，－1)，(1，＋)，遞增區(qū)間是(－1，1)；
f極小值(x)＝f(－1)＝－2，f極大值(x)＝f(1)＝2.(7分)w w w .x k b 1.c o m
(2)由(1)知，當0
此時fmax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)
當a1時，f(x)在(0，1)上遞增，在(1，a)上遞減，
即當x[0，a]時fmax(x)＝f(1)＝2(12分)
綜上有h(a)＝2，a（1，＋）.(－a3＋3a，a（0，1]，)(13分)
4．【解析】 (1)設(shè)函數(shù)(x)＝xln x－x＋1，則(x)＝ln x(1分)
則(x)在(0，1)上遞減，在(1，＋)上遞增，(3分)
(x)有極小值(1)，也是函數(shù)(x)的最小值，則(1)＝1ln 1－1＋1＝0
故xln xx－1.(5分)
(2)f(x)＝ex－a(6分)
①a0時，f(x)0，f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，又f(0)＝0，
所以此時函數(shù)有且僅有一個零點x＝0；(7分)
②當a0時，函數(shù)f(x)在(－，ln a)上遞減，在(ln a，＋)上遞增，
函數(shù)f(x)有極小值f(ln a)＝a－aln a－1(8分)
ⅰ.當a＝1時，函數(shù)的極小值f(ln a)＝f(0)＝a－aln a－1＝0
則函數(shù)f(x)僅有一個零點x＝0；(10分)
ⅱ.當01或a1時，由(1)知極小值f(ln a)＝a－aln a－10，又f(0)＝0
當01時，ln p a0，易知x－時，ex0，－ax－1＋，
故此時f(x)＋，則f(x)還必恰有一個小于ln a的負根；
當a1時，2ln a0，計算f(2ln a)＝a2－2aln a－1
考查函數(shù)g(x)＝x2－2xln x－1(x1) ，則g(x)＝2(x－1－ln x)，
再設(shè)h(x)＝x－1－ln x(x1)，h(x)＝1－x(1)＝x(x－1)0
故h(x)在(1，＋)遞增，則h(x)h(1)＝1－1－ln 1＝0，
所以g(x)0，即g(x)在(1，＋)上遞增，則g(x)g(1)＝12－21ln 1－1＝0
即f(2ln a)＝a2－2aln a－10，
則f(x)還必恰有一個屬于(ln a，2 ln a)的'正根．
故01或a1時函數(shù)f(x)都是恰有兩個零點．
綜上：當a(－，0]{1}時，函數(shù)f(x)恰有一個零點x＝0，
當a(0，1)(1，＋)時函數(shù)f(x)恰有兩個不同零點. (13分)
5．【解析】(1)當mnx軸時，mn的方程是x＝3(8)，
設(shè)m，y1(8)，n，－y1(8)w w w .x k b 1.c o m
由(om)(on)知|y1|＝3(8)，
即點3(8)在橢圓上，代入橢圓方程得b＝2.(3分)
(2)當lx軸時，由(1)知(oa)(ob)；
當l不與x軸垂直時，設(shè)l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0
則1＋k2(|m|)＝3(8)?3m2＝8(1＋k2)(5分)
＝1(y2)?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0,
＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝3(32)(4k2＋1)0，
設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)
則1＋2k2(2m2－8)，(7分)
x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
1＋2k2(（1＋k2）（2m2－8）)－1＋2k2(4k2m2)＋
＝1＋2k2(3m2－8（1＋k2）)＝0，即(oa)(ob).
即橢圓的內(nèi)含圓x2＋y2＝3(8)的任意切線l交橢圓于點a、b時總有(oa)(ob).(9分)
(2)當lx軸時，易知|ab|＝23(8)＝3(6)(10分)
當l不與x軸垂直時，|ab|＝＝（1＋2k2）2(（4k2＋1）)
＝3(6)（1＋2k2）2(（1＋k2）（4k2＋1）)(12分)
設(shè)t＝1＋2k2[1，＋)，t(1)(0，1]
則|ab|＝3(6)2t2(2t2＋t－1)＝3(6)8(9)
所以當t(1)＝2(1)即k＝2(2)時|ab|取最大值2，
當t(1)＝1即k＝0時|ab|取最小值3(6)，
(或用導數(shù)求函數(shù)f(t)＝2t2(2t2＋t－1)，t[1，＋)的最大值與最小值)
綜上|ab|3(6).(14分)
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