一鍵復制
每個人都曾試圖在平淡的學習、工作和生活中寫一篇文章。寫作是培養(yǎng)人的觀察、聯(lián)想、想象、思維和記憶的重要手段。那么我們該如何寫一篇較為完美的范文呢？下面是小編為大家收集的優(yōu)秀范文，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
利用定積分的定義求極限例題篇一
符號積分由函數(shù)int來實現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：
int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分；
int(s,v)：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分；
int(s,v,a,b)：求定積分運算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分。a和b可以是兩個具體的數(shù)，也可以是一個符號表達式，還可以是無窮(inf)。當函數(shù)f關于變量x在閉區(qū)間[a,b]上可積時，函數(shù)返回一個定積分結果。當a,b中有一個是inf時，函數(shù)返回一個廣義積分。當a,b中有一個符號表達式時，函數(shù)返回一個符號函數(shù)。
例：
求函數(shù)x^2+y^2+z^2的三重積分。內(nèi)積分上下限都是函數(shù)，對z積分下限是sqrt(x*y)，積分上限是x^2*y；對y積分下限是sqrt(x)，積分上限是x^2；對x的積分下限1，上限是2，求解如下：
>>syms x y z %定義符號變量
>>f2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)%注意定積分的書寫格式
f2 =
1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)%給出有理數(shù)解
>>vf2=vpa(f2)%給出默認精度的數(shù)值解
vf2 =
224.92***3***280
5二、數(shù)值積分
1.數(shù)值積分基本原理
求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(simpson)?法、牛頓－柯特斯(newton-cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間[a,b]分成n個子區(qū)間[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。
2.數(shù)值積分的實現(xiàn)方法
基于變步長辛普生法，matlab給出了quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：
[i,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于變步長、牛頓－柯特斯(newton-cotes)法，matlab給出了quadl函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：
[i,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時取trace=0。返回參數(shù)i即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。
例：
求函數(shù)'exp(-x*x)的定積分，積分下限為0，積分上限為1。
>>fun=inline('exp(-x.*x)','x');%用內(nèi)聯(lián)函數(shù)定義被積函數(shù)fname
>>isim=quad(fun,0,1)%辛普生法
isim =
0.74682418072642
5il=quadl(fun,0,1)%牛頓－柯特斯法
il =
0.***
三、梯形法求向量積分
trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函數(shù)y關于自變量x的積分(向量形式，數(shù)值方法)。
>>d=0.001;
>>x=0:d:1;
>>s=d*trapz(exp(-x.^2))
s=
0.7468
或：
>>format long g
>>x=0:0.001:1;%x向量，也可以是不等間距
>>y=exp(-x.^2);%y向量，也可以不是由已知函數(shù)生成的向量
>>s=trapz(x,y);%求向量積分
s =
0.***
int的積分可以是定積分，也可以是不定積分（即有沒有積分上下限都可以積）可以得到解析的解，比如你對x^2積分，得到的結果是1/3*x^3，這是通過解析的方法來解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的結果是7/3
quad是數(shù)值積分，它只能是定積分（就是有積分上下限的積分），它是通過simpson數(shù)值積分來求得的（并不是通過解析的方法得到解析解，再將上下限代入，而是用小梯形的面積求和得到的）。如果f=inline('x.^2');quad(f,1,2)得到的結果是2.333333，這個數(shù)并不是7/3
int是符號解，無任何誤差，唯一問題是計算速度；quad是數(shù)值解，有計算精度限制，優(yōu)點是總是能有一定的速度，即總能在一定時間內(nèi)給出一個一定精度的解。
[from: 58.192.116.*]
對于y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))，被積函數(shù)之原函數(shù)無“封閉解析表達式”,符號計算無法解題，這是符號計算有限性，結果如下：
>> syms x
>>y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))
>>s=int(y,x,0,inf)
y =
exp((-x^2-x-1)/(1+x))
warning: explicit integral could not be found.>> in at 58
s =
int(exp((-x^2-x-1)/(1+x)),x = 0..inf)
只有通過數(shù)值計算解法
>> dx=0.05;%采樣間隔
>>x=0:dx:1000;%數(shù)值計算適合于有限區(qū)間上,取有限個采樣點，只要終值足夠大，精度不受影響
>>y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x));
>>s=dx*cumtrapz(y);%計算區(qū)間內(nèi)曲線下圖形面積,為小矩形面積累加得 >>s(end)
ans =
0.5641 %所求定積分值
或進行編程，積分上限人工輸入，程序如下：
%表達式保存為函數(shù)文件
function y=fxy(x)
y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x));% save fxy.m
% main--------主程序
clear,clc
h=.001;p=0;a=0;
r=input('請輸入積分上限，r=')
while a
p=p+(fxy(a)+fxy(a+h))*h/2;
a=a+h;
end
p=vpa(p,10)
運行主程序后得到結果：
請輸入積分上限，r=1000
r =
1000
p =
.5641346055
其它結果如下：
0-1: int=.3067601686
0-2: int=.4599633159
0-5: int=.5583068217
0-10: int=.5640928975
0-100: int=.5641346055
0-1000: int=.5641346055
[from: 211.65.33.*]
在積分函數(shù)中,sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);已知變量e1,e2,e3,n1,n2,n3通過函數(shù)參數(shù)輸入,如果直接用inline或字符串的形式，則表達式中的未知數(shù)有9個，分別是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函數(shù)時，已知變量e1,e2,e3,n1,n2,n3就會以常數(shù)看待，未知數(shù)就只有x,y,z了，可以求三重積分了。
完整函數(shù)程序：
function fn(n1,n2,n3)
if n1==0
e1=1;
else if n1>0
e1=2;
end
end
if n2==0
e2=1;
else if n2>0
e2=2;
end
end
if n3==0
e3=1;
else if n3>0
e3=2;
end
end
f=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);
s=triplequad(f,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)%求三重數(shù)值積分
將以上代碼保存為fn.m程序文件，即m文件，然后運行：
>> fn(1,1,1)
s =
866.9655
[from: 211.65.33.*]
三重積分請用三重積分函數(shù)triplequad，與三個積分上下限對應，即x=triplequad(f,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)
其中被積函數(shù)f用“匿名函數(shù)”來表達，即
f=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);
如果直接用inline或字符串的形式，則表達式中的未知數(shù)有9個，分別是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函數(shù)時，已知變量e1,e2,e3,n1,n2,n3就會以常數(shù)看待，未知數(shù)就只有x,y,z了。
完整函數(shù)程序：
function fn(n1,n2,n3)
if n1==0
e1=1;
else if n1>0
e1=2;
end
end
if n2==0
e2=1;
else if n2>0
e2=2;
end
end
if n3==0
e3=1;
else if n3>0
e3=2;
end
end
f=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);
x=triplequad(f,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)
>> fn(1,1,1)
x =
866.9655
[from: 58.192.116.*]
利用定積分的定義求極限例題篇二
習題2-2
1.利用函數(shù)極限定義證明:
(3).limxsinx?01x?0;
x|?1，則當 0?|x|?? 時, 有 證明: 對于任意給定的正數(shù) ??0, 取 ???, 因為 |sin
x1x1xxsin?|x|sin?|x|??，所以limxsinx?0?0.2．利用無窮大量定義證明：
（1）lim1?x
4x????；
1?x
4證明：對于任意給定的正數(shù) g?0, 取 m?4g?1, 則當 |x|?m 時, 有 |
所以 lim1?x
4??.|?g，x??
5．證明：若limf(x)?a，則lim|f(x)|?|a|.x?x0x?x0證明：對于任意給定的正數(shù) ??0, 由于limf(x)?a，存在??0，使得當
x?x0
0?|x?x0|??時, 都有|f(x)?a|??，而
????|f(x)?a|?|f|?|a|?|f?a|??，即||f(x)|?|a||??，所以lim|f(x)|?|a|.x?x0
利用定積分的定義求極限例題篇三
利用定積分的定義求極限 方法：如果?f(x)dx存在，則lim
ab
b?an
n
n??
?
k?1
f(a?
b?an
?k)?
?
ba
f(x)dx
例15求極限
n
（1）lim
n??
?
k?1n
nn?4k
nn?4k
解：lim
n??
?
k?1
?lim
1n
n
n??
?
k?1
11?4()
n
k
?
?
11?4x
dx?
actan2x
|0?
actan2
n
（2）lim
n??
?
k?1n
nx?2kn
解：lim
n??
?
k?1nx?2kn
?lim
n??
k
[x?2()]??nk?1n
n
?
(x?2t)dt?x?1
（3）lim
1n
n??
n(n?1)(n?2)?(2n?1)
n?1
解：因為
1n
k?0
?ln(1?n)
n
k
n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e
由于lim
1n
n
n??
?
k?1
ln(1?
kn)?
?
ln(1?x)dx?2ln2?1?ln
4e
故lim
1n
n
n??
n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e
ln
4e
?
4e
利用定積分的定義求極限例題篇四
數(shù)學之美2007年11月總第3期
淺談用定積分的定義解決極限問題
王濤
（周恩來政府管理學院 政治學與行政學 0612723）
摘要：數(shù)學是一門鍛煉人的邏輯思維能力的科目。我們在學習數(shù)學的過程中經(jīng)常遇到的是計算題和證明題，掌握一定的方法和技巧對于我們快速地解出題目是非常有幫助的。有些方法和技巧其實是對定義、概念深入理解所得到的。本文主要探討用定積分的定義來解決求極限的問題。
關鍵詞：定積分的定義；定積分；極限；曲邊梯形的面積
在高等數(shù)學的學習中，微積分的學習占有很大的比重，地位也是很重要的。微積分分為微分學和積分學，而微分運算與積分運算之間是互為逆運算的關系。我們通常把微分運算看作正向運算，而把積分運算看作是微分的逆運算，在以往的實際學習上我們也可以看出這點：加減法，乘除法，平方開方，指數(shù)對數(shù)，三角函數(shù)反三角函數(shù)等等。而在高等數(shù)學的學習中我們首先接觸的是微分，然后是積分；從掌握程度上，我們對于正向運算的掌握程度可能要好于逆向運算，不管是學習的速度還是做題的準確性，正向運算可能都要好于逆向運算。然而正逆運算是互通的，熟練掌握這兩種運算對于增加解題方法，做到融會貫通都是很有幫助的。下面就來介紹用積分學中定積分的定義來解決微分學中極限的問題。
我們一般在求解極限問題時，經(jīng)常用到的方法是：極限的定義、性質(zhì)，幾種重要極限、洛必達法則、泰勒公式等。但這些方法都局限于微分學中，沒有超越微分學的范圍，而我們知道微分與積分是互為逆運算的，那么運用積分學的方法來解決極限問題是否可行？答案是肯定的。用定積分的定義就是解決極限問題的又一方法。
要用定積分的定義來求解極限問題，我們首先要弄清定積分的定義。
定積分的定義：設函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間?a,b?上有界，在?a,b?上任意插入分點：a=x0＜x1＜?＜xn?1＜xn=b,令?xi=xi?xi?1，又任取?i?[xi?1,xi], i=1,2,…n.作和式in??f(?i)?xi，令?x?m如果當?xi?0時，和式in的極限存在，且此極限與?a,b?ax??xi?，i?11?i?nn的分法及?i的取法無關，則稱函數(shù)f(x)在?a,b?上是可積的，并稱該極限值為f(x)在?a,b?上的定積分，記作
即?baf(x)dx，n?b
af(x)dx??f(?i)?xi.?x0i?
180
其中函數(shù)f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，?a,b?稱為積分區(qū)間。1
b
這個定義看上去很復雜，但只要抓住?af(x)dx??f(?i)?xi即可。我們在?x?0i?1
n
后面所要介紹的用定積分的定義解決極限問題也是圍繞著這個公式展開的。從這個式子我們也可以看出極限與定積分之間的關系是很緊密的。有了定積分的定義，我們用具體例題來看怎樣用定積分解決極限問題。
?2?3?n???
sinsinsinsin2?n?n?n???n? 例1.求
lim??
111?n???n?1
n?n?n?
?23n???
解： 注意到：
?2?3?n?
sinsinsinsin1?2?3?n?n?n?n???n? [sin?sin?sin???sin]?
n?1nnnn111n?1
n?n?n?23n
1?2?3?n?1nk?[sin?sin?sin???sin]=（*）?sin
nnnnnnk?1n
由定積分定義，對上面不等式的右端取極限，得到
1nk?1
=?sin?xdx=2 lim?sin0nn??nk?1?
而不等式的左端取極限，有
n1nk?=2 1nk?=
?sinsin??limlim
nk?1n?nn??n?1n??n?1k?1
由夾逼定理知
?2?3?n??
sinsinsinsin?n?n?n???nlim?
111n???n?1
n?n?n?
?23n?
?
?????
=
2?
這道題就是典型的用到定積分的定義來求極限的值。當我們對（*）左右兩邊的式子取
n1nk?b
極限時，我們發(fā)現(xiàn) lim?sin可以表為形如?af(x)dx??f(?i)?xi的形式.因
nn??nk?1?x?0i?1
為f(x)?sin?x為[0, 1]上可積函數(shù)，所以對于[0, 1]任意劃分及?i的任意取法極限
劉桂茹，孫永華編著：《高等學校經(jīng)濟數(shù)學系列教材 微積分》，南開大學出版社，2004年12月版，第200
頁。2
2005年天津市大學數(shù)學競賽（人文學科及醫(yī)學等類），第八題。
lim?f(?i)?xi都存在且相等, 此時令?xi=
n
||?x||?0i?1
1i，即把[0, 1]n等分, ?i?為分點，由nn
定積分的定義我們得到
21nk?1
==, sin?xdxsin?lim
?n?0n??nk?1
然后再取右邊的極限,由夾逼定理我們得到最后的結果
?
.這道題解題的關鍵就是用到定積分的定義,把求極限問題與定積分的定義聯(lián)系起來，很容易的解出題目。
讓我們再來看一個例子.例2.求lim
n??
n?1)(n?2)?（n?n)。
n
解：∵lim
n??
(n?1)(n?2)?（n?n)
n
=lim
n??
(n?1)(n?2)?（n?n)
n
=lim(1?n)(1?
n??
2n)?（1?)nn
于是，我們設y?(1?n)(1?
2n)?（1?)nn
1ni
?ln(1?)取對數(shù)lny?
ni?1n
于是有l(wèi)imlny=lim
n??
1ni
?ln(1?).（**）
nn??ni?1
我們采用同例1同樣的方法。此時令?xi=
1i，?i?1?.所以（**）可等于 nn
11ni
lim?ln(1?)=?0ln(1?x)dx=2ln2???ni?1
因此limlny?2ln2?1，n??
n??
limy?e
2ln2?1
=e
ln
e
4?.e
所以最后的結果是lim
這道題與例1
n??
(n?1)(n?2)?（n?n)4=.en
b
有相似之處，整理式子，發(fā)現(xiàn)（**）形如?a
f(x)dx??f(?i)?xi
?x?0i?1
n
由定積分的定義把求（**）轉化為求定積分的值，得到結果。
由上面兩個例子我們可以發(fā)現(xiàn)幾個問題：
1.用定積分的定義來求極限的問題，給出的題目往往是有無窮多個式子連乘或連加構成，而且式子看上去很復雜但很有規(guī)律，經(jīng)過一定的變換可以得到如下形式
b?a
n
f(x)dx??f(?i)?xi
?x?0i?1
運用此式可以把極限問題轉化為求定積分值的問題。
2.解題時不僅要用到定積分的定義，還需要與其他方法結合使用。第一題中用到了夾逼定理，第二題則用到了取對數(shù)的方法。這樣就增加了解題的難度題目。在出用定積分解極限問題時，一般不會直接讓你看出用定積分定義來做此題，而是需要運用其他的方法把式子經(jīng)過一定的變換之后再用定積分來做，定積分的定義是解題的關鍵。此類題的目的就是要用定積分的定義來解極限問題，但之前要把式子整理到形如定積分的定義式之后才能用定積分來做。達到了一道題考察多種概念、方法的目的。
以上就是我們所討論的用定積分的定義來解某一類的極限問題。它所反映的思想就是要把相通的、有關系的事物聯(lián)系起來，擴展思路，最終達到解決問題的目的。學習數(shù)學的目的就是為了鍛煉人的邏輯思維能力。在實際生活中，我們也要解放思想，開闊思路，善于逆向思維，發(fā)掘更多解決問題的方法，這樣對于我們整個國家、社會的發(fā)展也是非常有幫助的。參考文獻
[1] 劉桂茹，孫永華.高等學校經(jīng)濟數(shù)學系列教材 微積分.天津：南開大學出版社，2004年12月版
[2] 陳吉象 戴瑛 鄭棄冰 吳忠華.文科數(shù)學基礎.北京：高等教育出版社，2003年8月版 [3] 2005年天津市大學數(shù)學競賽（人文學科及醫(yī)學等類）
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