南京信息工程大學(xué)碩士研究生招生入學(xué)考試

考試大綱

科目代碼：T65

科目名稱：數(shù)學(xué)分析

第一部分  目標(biāo)與基本要求

1． 掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念，了解數(shù)學(xué)分析的發(fā)展歷史，掌握科學(xué)的思想和方法；

2． 掌握數(shù)學(xué)分析的基本方法，具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力、邏輯思維能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,養(yǎng)成認(rèn)真、求實(shí)、勤奮良好的教學(xué)科研精神與學(xué)風(fēng)；

3． 掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論，培養(yǎng)抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及運(yùn)算能力，養(yǎng)成反思和獨(dú)立思考的習(xí)慣，為后繼課程學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；

4． 培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型的能力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)分析知識(shí)去分析和解決問(wèn)題的能力，體會(huì)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性與深刻性，提高數(shù)學(xué)思維能力和科學(xué)素養(yǎng)，具備一定的科學(xué)研究能力。培養(yǎng)反思及自主學(xué)習(xí)能力。

第二部分 內(nèi)容與考核目標(biāo)

一、實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1 理解實(shí)數(shù)集及其性質(zhì)   2 掌握確界定義與確界原理   3 掌握函數(shù)概念   4掌握有某些特性的函數(shù)（有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、周期函數(shù)）

二、數(shù)列極限

1 掌握數(shù)列極限概念   2 掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算）   3 掌握數(shù)列極限存在的條件：包括單調(diào)有界定理與柯西（Cauchy）準(zhǔn)則

三、函數(shù)極限

1 掌握函數(shù)極限概念   2 掌握函數(shù)極限的性質(zhì)（唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算）   3掌握 函數(shù)極限存在的條件：包括歸結(jié)原則（Heine 定理），單調(diào)有界定理與柯西準(zhǔn)則   4 掌握兩個(gè)重要極限   5 掌握無(wú)窮小量，無(wú)窮大量, 理解非正常極限，掌握階的比較，掌握曲線的漸近線

四、函數(shù)的連續(xù)性

1 掌握連續(xù)性概念，間斷點(diǎn)及其分類   2 掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、保號(hào)性、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、理解反函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續(xù)性）3 理解實(shí)數(shù)集完備性的基本定理的應(yīng)用   4 掌握初等函數(shù)的連續(xù)性

五、導(dǎo)數(shù)與微分

1 掌握導(dǎo)數(shù)的概念   2 掌握求導(dǎo)法則   3 掌握微分概念   4 掌握高階導(dǎo)數(shù)與高階微分   5掌握參量方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

六、微分中值定理及其應(yīng)用

1 掌握中值定理（羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）   2掌握不定式極限    3 掌握泰勒公式（及其皮亞諾余項(xiàng)與拉格朗日余項(xiàng)、一些常用初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式、了解應(yīng)用于近似計(jì)算）   4 掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值與最小值   5掌握函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)    6 理解函數(shù)圖象的討論

七  不定積分

1掌握原函數(shù)與不定積分概念，基本積分公式   2 掌握換元積分法與分部積分法   3 掌握有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分

八、定積分

1掌握定積分的概念及其幾何意義   2 掌握可積條件的應(yīng)用（包括必要條件，可積準(zhǔn)則），掌握三類可積函數(shù)   3 掌握定積分的性質(zhì)（線性運(yùn)算法則、區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對(duì)可積性，積分中值定理）   4 掌握微積分學(xué)基本定理，定積分的分部積分法與換元法

九、反常積分

1掌握無(wú)窮限反常積分概念、柯西準(zhǔn)則，絕對(duì)收斂與條件收斂    2掌握無(wú)窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法及p-函數(shù)判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法    3掌握無(wú)界函數(shù)反常積分概念，無(wú)界函數(shù)反常積分比較判別法及p-函數(shù)判別法

十、定積分的應(yīng)用

1 掌握平面圖形的面積   2 掌握由截面面積求體積、旋轉(zhuǎn)體的體積   3 掌握曲線的弧長(zhǎng)與了解曲率   4 掌握旋轉(zhuǎn)曲面的面積

十一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1 掌握級(jí)數(shù)收斂的概念，柯西收斂準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)    2 掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法（比較判別法、p-級(jí)數(shù)判別法、比式與根式判別法、積分判別法）    3 掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，阿貝爾（Abel）判別法與狄利克雷（Dirichlet）判別法，理解絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)

十二、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1 掌握函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法   2 掌握函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性

十三、冪級(jí)數(shù)

1 掌握冪函數(shù)的收斂性，阿貝爾定理，收斂半徑與收斂域，內(nèi)閉一致收斂性，和函數(shù)的分析性質(zhì)   2 掌握函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

十四、傅里葉級(jí)數(shù)

1 理解傅里葉級(jí)數(shù)的概念，三角函數(shù)系的正交性   2 掌握以2L為周期的函數(shù)的展開(kāi)式，奇式與偶式展開(kāi)   3 了解收斂定理的證明

十五、多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1理解平面點(diǎn)集與多元函數(shù)    2 掌握二元函數(shù)的極限，重極限與累次極限   3 理解二元函數(shù)的連續(xù)性，有界閉域（集）上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

十六、多元函數(shù)的微分學(xué)

1掌握偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念，可微性   2 掌握復(fù)合函數(shù)微分法，高階導(dǎo)數(shù)，高階微分，混合偏導(dǎo)數(shù)與其順序無(wú)關(guān)性   3 掌握方向?qū)?shù)與梯度  4 掌握泰勒公式與極值問(wèn)題

十七、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1理解隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)定理   2掌握隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式及其性質(zhì)   3 掌握幾何應(yīng)用（空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線）   4 掌握條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

十八、含參量積分

1 掌握含參量正常積分，連續(xù)性、可積性與可微性    2 掌握含參量反常積分的收斂與一致收斂，柯西準(zhǔn)則，維爾特拉斯（Weierstrass）判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法，含參量無(wú)窮積分的連續(xù)性，可積性與可微性        3 理解歐拉積分

十九、曲線積分

1掌握第一型曲線積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算公式     2掌握第二型曲線積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算公式，兩類曲線積分之間的關(guān)系

二十、重積分

1 掌握二重積分概念與性質(zhì)   2 掌握二重積分的計(jì)算（化為累次積分），二重積分的換元法（極坐標(biāo)與一般變換）  3. 掌握格林（Green）公式，曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性        3 掌握三重積分的概念與計(jì)算，三重積分的換元法（柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與一般變換）  4 理解重積分的應(yīng)用（體積、曲面面積等）

二十一、曲面積分

1理解第一型曲面積分的的概念與計(jì)算    2掌握第二型曲面積分的概念與計(jì)算，理解兩類曲面積分之間的關(guān)系    3掌握高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式

第三部分  有關(guān)說(shuō)明與實(shí)施要求

1.基本要求：掌握數(shù)學(xué)分析中的基本概念，理解考試范圍內(nèi)的各種微積分思想，掌握處理問(wèn)題分析的基本方法、基本原理，具有運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本能力。

2.命題說(shuō)明：分值比例：“了解”占15%，“理解”占40%，“掌握”占45%；題型為解答題和證明題。

3.參考書(shū)目:

（1）梅加強(qiáng), 數(shù)學(xué)分析, 高等教育出版社, 2011.

（2）裴禮文，數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法（第二版），高等教育出版社, 2006.

（3）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（第四版），高等教育出版社, 2013.

4. 其他規(guī)定：考試方式為閉卷筆試，總分100分，考試時(shí)間為120分鐘。